图论(理论篇)

图论(理论篇)

图的概念

• 图：G=（V,E），由顶点集和边集组成

  • 有向图

    • 强连通图：任意两个顶点可以相互到达
    • 有向树：一个顶点的入度为0，其余顶点的入度均为1 的有向图
    • 顶点的度=入度+出度

  • 无向图

    • 连通图：任意两个顶点是连通的
    • 生成树：包含图中所有顶点的一个极小连通子图
    • 最小生成树：边权之和最小且唯一；边数=顶点数减1
    • 顶点的度：依附于该顶点的边数，

  • 完全图：任意两个顶点都存在双边

  • 稀疏图：边数少的图，一般E<V log V

    • 邻接表法：所需空间：O(V+E)；顶点表+边表
      • 方便找出给定顶点的所有边

  • 稠密图：边数多的图

    • 邻接矩阵法：所需空间：O(V²)；g[i] [j]代表从i到j有一条边

      • 方便查询任意两个顶点间是否有边
      • 方便求任意一个顶点的入度，时间复杂度为O(边数+顶点数)
      • 无向图的邻接矩阵是一个对称矩阵：数据量较大时可据此进行压缩处理，只采用一维数组存储，省略半边的数据

图的性质

• 度

  • 有向图：全部顶点的入度之和== 出度之和 == 边数
  • 无向图：全部顶点的度之 == 边数的2倍
  • 邻接矩阵中
    • 有向图：第i行非零元素的个数是顶点i的出度；第i列非零元素的个数是顶点i的入度
    • 无向图：第i行/列 非零元素的个数是顶点i的度

• 连通

  • 强连通图：边数>=顶点数；边最少的情况：构成一个有向环
  • 连通图：边数>=顶点数-1；边最少的情况：构成一棵树

• 完全图

  • 有向完全图：n个顶点有n(n-1)条边
  • 无向完全图：n个顶点有n(n-1)/2条边
  • 可用以计算有x条边的非连通无向图至少有几个顶点：x条边的完全图顶点为n，n再加1后即构成了一个非连通无向图
  • 可用以计算n个顶点的无向图至少需要几条边能确保是一个连通图：n-1个顶点构成完全图需要x条边，x+1条边保证第n个顶点与该完全图相连

图的应用

• 优先搜索

  • 宽度优先搜索BFS

    • 复杂度分析
      • 空间复杂度：最坏O(V)
      • 时间复杂度：邻接表存储：O(V+E)；邻接矩阵存储：O(V²)

  • 深度优先搜索DFS

    • 复杂度分析
      • 空间复杂度：O(V)
      • 时间复杂度：邻接表存储：O(V+E)；邻接矩阵存储：O(V²)

  • 其他优先搜索的题目：手工模拟一下宽搜或者深搜的过程即可求解

• 最小生成树

  • Prim算法：每次取集合外 离集合距离最短的点，放入集合，并用该点更新 其他各点到集合的距离
  • Kruskal算法：对每条边的边权从小到大开始枚举，如果两个点不连通，就将两个点放进集合，直到所有的点都在集合中

• 最短路算法

  • Dijkstra算法：每次取 集合外 离源头距离最短的点，放入集合，并用该点更新 其他各点到源头的距离
  • Floyd算法：A[i] [j]=min(A[i] [j],A[i] [k]+A[k] [j])，三重循环遍历所有的边

• 拓扑排序

  • 有向无环图DAG图：有向图中不存在环、
    • AOV网：顶点表示任务，有向边表示任务间的先后关系（边无权值）
    • AOE网：顶点表示事件，有向边表示活动（边带权值）
      • 仅有一个入度为0的顶点表示源点，仅有一个出度为0的顶点表示汇点
      • 关键活动：从源点到汇点的所有路径中，具有最大路径长度的路径为关键路径，关键路径上的活动成为关键活动
  • 拓扑排序：选择AOV网中入度为0的顶点并输出，删除该顶点以及该点出发的所有有向边，重复操作
    • 复杂度分析
      • 时间复杂度：邻接表存储：O(V+E)；邻接矩阵存储：O(v²)