栈和队列

栈和队列(理论+实践)

基本概念

• 栈和队列的逻辑结构是：线性表

栈

• 概念：限制存取点的后入先出的线性表

• 数学性质：n个不同的元素入栈，出栈元素的不同排列个数是1/(n+1)*Cⁿ_2n：卡特兰数

• 存储结构

  • 顺序栈：数组+栈顶指针

    • //创建
      int stk[N],tt;
       
      //插入操作
      stk[++tt]=x;
       
      //弹出操作（删除栈顶元素）
      tt--; 
       
      //判断栈是否为空
      if(tt>0) not empty
      else empty
       
      //取出栈顶元素
      stk[tt];
      

    • 共享栈：两个顺序栈共享一个数组空间，两个栈的栈底分别置于共享空间的两端，栈顶向中间延伸

  • 链栈：便于节点插入与删除，入栈和出栈操作都在表头进行

• 理论题

  • 给出一段入栈序列，求各种可能的出栈序列：按照栈先入后出的特性，模拟一下入栈和出栈的过程即可
  • 前中后缀表达式的转化：step1：按优先级把所有运算单位加上括号；step2：把运算符号移动到对应括号的前面或后面；step3：去掉括号

• 实践题

  • 匹配问题：n对数据的序列，每一对数据有前后两元素，下一对的前元素不得在这一对的后元素之前出现
    • 括号匹配问题：将{入栈。栈顶为{，入栈元素为}时弹出栈顶，若栈顶与入栈元素不匹配直接false
    • 连线不交叉问题：将每一组数据较小的一个当做左括号，另一个当做右括号，解法同括号匹配一样
  • 后缀表达式求值：数字直接入栈，算术符号则取栈顶两个数字，计算后将新数字入栈
  • 中缀表达式转后缀：数字直接入后缀表达式，' ( '入栈，' ) '：以此把栈中运算符入后缀表达式，直到出现' ( '，其他运算符：优先级小于等于栈顶则不断弹出栈顶入后缀表达式，优先级大于栈顶则入栈
  • 递归问题：递归函数的底层实现依赖于栈，理论上来说任一递归函数都可以改写为用栈来实现
  • 两个栈实现一个队列：一个栈为instack，一个栈为outstack，插入数据时放入instac，输出数据时输出outstack的栈顶，若outstack为空则将instack的所有元素放入outstack中：两个后入先出即实现先入先出
  • 火车调度问题
    • 火车调度问题I：火车编号1~n，给出入栈序列，求最大字典序的出栈序列：把编号n前的火车全部入栈(n一定第一个出栈)，然后用后缀数组判断n之后每一个即将入栈的元素post[i]是否大于栈顶，若大于栈顶则将元素入栈直至post[i]小于栈顶，开始弹出栈顶直到栈顶又小于post[i]
    • 火车调度问题II：火车编号1~n，入栈序列为1,2,3,4……n，给出出栈序列，判断此段序列是否合法：判断栈顶元素是否是序列开头的数A，是的话弹出栈顶；不是的话看数A是否还没入栈，是的话把数A前的数全入栈，若栈顶不是A且数A已经入栈，说明出栈序列不合法
  • 单调栈问题
    • 接雨水问题：栈中存储柱子数组的下标，当入栈元素>栈顶元素，则进行一次面积计算，并弹出栈顶，实际上会形成从栈顶到栈底的一个递增单调栈
    • 给出一段序列，返回每个数左边最近的比其小的数：循环（如果入栈元素<栈顶元素），则不断弹出栈顶 ，因为新入栈元素比栈顶元素小且更靠近下一个数，所以那些元素必不会作为答案输出，弹出结束后每次取出栈顶即为每次的答案，实际上会形成从栈顶到栈底的一个递增单调栈

队列

• 概念：操作受限的先入先出的线性表

• 存储结构

  • 顺序队列：数组+队头指针+队尾指针

    • //在队尾插入元素，在队头弹出元素
      int q[N],front,rear=-1;
       
      //插入元素
      q[++rear]=x;
       
      //弹出队头
      front++;
       
      //取出队头
      q[front];
      
      //判断队列是否为空
      if(front<=rear) not empty
      else empty
      

    • 循环队列：顺序队列+队头指针front==maxsize-1的时候，再进一个位置到0实现循环

      • //在队尾插入元素，在队头弹出元素
        int q[N],front,rear;
        
        //插入元素
        q[rear]=x;
        rear=(rear+1)%maxsize;
        
        //弹出队头
        front=(front+1)%maxsize;
        
        //取出队头
        q[front];
        
        //判断队列是否为空
        if(front!=rear) not empty
        else empty
        

  • 链式队列：适用于数据元素变动比较大的情况

  • 双端队列：允许两端都可以入队和出队的队列

• 理论题：依照概念和队列先入先出的特性模拟入队和出队即可

• 实践题

  • 遍历问题：层序遍历与宽度优先搜索都依赖于队列实现，详见树篇与图论篇

  • 滑窗算法：在给定的一段序列中，动态地维护一段区间，（在有限制的条件下动态地遍历各个区间）

    • 单调队列问题
      • 一段序列上有一个定长的滑动窗口，每次返回窗口内最大的值：while(如果入队元素>队尾元素) 则不断删除队尾（rear--），因为新入队元素比队尾的元素更大且更晚出窗口，所以那些元素永远不会作为答案输出，每次的队头即为答案，实际上会形成从队尾到队头的一个递增单调队列
    • 求给定序列上，长度<=k且在和最大的情况下起始位置尽可能小的子序列，返回该序列起止坐标：将序列元素依次入队，限制条件1：要求最大和，所以当sum小于0时，要不断弹出队首，清空序列；限制条件2：当队列长度大于k时，要弹出队首；限制条件3：当队列有两个及以上元素时，如果队首小于0，就要弹出队首，每次弹出队首或新元素入队后更新sum并检查是否要更新maxsum和答案