巴什博弈(Bash Game)

巴什博奕（Bash Game）：

只有一堆n个物品，两个人轮流从这堆物品中取物，规定每次至少取一个，最多取m个，最后取光者得胜。显然，如果n=m+1，那么由于一次最多只能取m个，所以，无论先取者拿走多少个，后取者都能够一次拿走剩余的物品，后者取胜。因此我们发现了如何取胜的法则：如果n=（m+1）r+s，（r为任意自然数，s≤m)，那么先取者要拿走s个物品，如果后取者拿走k（≤m)个，那么先取者再拿走m+1-k个，结果剩下（m+1）（r-1）个，以后保持这样的取法，那么先取者肯定获胜。总之，要保持给对手留下（m+1）的倍数，就能最后获胜。

这个游戏还可以有一种变相的玩法：两个人轮流报数，每次至少报一个，最多报十个，谁能报到100者胜。

 

对于巴什博奕，那么我们规定，如果最后取光者输，那么又会如何呢？

（n-1）%（m+1）==0则后手胜利

先手会重新决定策略，所以不是简单的相反行的

例如n=15，m=3

后手 先手 剩余

0     2    13

1     3    9

2     2    5

3     1    1

1     0    0

先手胜利 输的人最后必定只抓走一个，如果>1个，则必定会留一个给对手

 

总结：

一：取光为胜时

①当 n = (m + 1) r， 先者取 k (k <= m)，后者再取 m + 1 - k 个，保持先者取时是 m + 1 的倍数，则后者必胜 → n % (m + 1) == 0 则后者必胜。

 

②当 n = (m + 1) r + s，先者首先要取掉 s 个， 这样留给后者(对手)的个数为 m + 1 的倍数，后者无论取多少，

先者只要保持取掉一定个数使得轮到后者的时候还剩 m + 1 的倍数个，这样最后先者必胜 → n % (m + 1) != 0 则先者必胜。

 

结论：保持对手取的时候数量为 m + 1 的倍数则必胜。

 

二：取光为负时

①当 n = (m + 1) r + 1，先者取 k(k <= m)，后者取掉一定数量使得轮到先者时数量为： (m + 1)的倍数 + 1

 这样最后一轮后者无论取掉多少，先者必定能取剩 1个- -，当然先者取光咯，所以后者必胜 → (n - 1) % (m + 1) == 0 则后者必胜。

 

②当 n = (m + 1) r + s，(s != 1)，先者首先要取掉 s - 1 个，这样留给后者(对手)数量为 (m + 1) r + 1 ，后者取 k (k <= m)，

轮到先者的只会是 (m + 1) r 或者  (m + 1) (r - 1) + 2，这样始终取掉一定数量使得留给后者(对手)的数量为： (m + 1)的倍数 + 1

这样最后一轮时，先者肯定取剩 1 个- -，当然后者取光咯，所以先者必胜 → (n - 1) % (m + 1) != 0 则先者必胜。

 

③当 n = (m + 1) r，先者取 m - 1 个，则又变成②了。

 

结论：保持对手取的时候数量为 (m + 1)的倍数 + 1 则必胜。