巴什博弈(Bash Game)
巴什博奕(Bash Game):
只有一堆n个物品,两个人轮流从这堆物品中取物,规定每次至少取一个,最多取m个,最后取光者得胜。显然,如果n=m+1,那么由于一次最多只能取m个,所以,无论先取者拿走多少个,后取者都能够一次拿走剩余的物品,后者取胜。因此我们发现了如何取胜的法则:如果n=(m+1)r+s,(r为任意自然数,s≤m),那么先取者要拿走s个物品,如果后取者拿走k(≤m)个,那么先取者再拿走m+1-k个,结果剩下(m+1)(r-1)个,以后保持这样的取法,那么先取者肯定获胜。总之,要保持给对手留下(m+1)的倍数,就能最后获胜。
这个游戏还可以有一种变相的玩法:两个人轮流报数,每次至少报一个,最多报十个,谁能报到100者胜。
对于巴什博奕,那么我们规定,如果最后取光者输,那么又会如何呢?
(n-1)%(m+1)==0则后手胜利
先手会重新决定策略,所以不是简单的相反行的
例如n=15,m=3
后手 先手 剩余
0 2 13
1 3 9
2 2 5
3 1 1
1 0 0
先手胜利 输的人最后必定只抓走一个,如果>1个,则必定会留一个给对手
总结:
一:取光为胜时
①当 n = (m + 1) r, 先者取 k (k <= m),后者再取 m + 1 - k 个,保持先者取时是 m + 1 的倍数,则后者必胜 → n % (m + 1) == 0 则后者必胜。
②当 n = (m + 1) r + s,先者首先要取掉 s 个, 这样留给后者(对手)的个数为 m + 1 的倍数,后者无论取多少,
先者只要保持取掉一定个数使得轮到后者的时候还剩 m + 1 的倍数个,这样最后先者必胜 → n % (m + 1) != 0 则先者必胜。
结论:保持对手取的时候数量为 m + 1 的倍数则必胜。
二:取光为负时
①当 n = (m + 1) r + 1,先者取 k(k <= m),后者取掉一定数量使得轮到先者时数量为: (m + 1)的倍数 + 1
这样最后一轮后者无论取掉多少,先者必定能取剩 1个- -,当然先者取光咯,所以后者必胜 → (n - 1) % (m + 1) == 0 则后者必胜。
②当 n = (m + 1) r + s,(s != 1),先者首先要取掉 s - 1 个,这样留给后者(对手)数量为 (m + 1) r + 1 ,后者取 k (k <= m),
轮到先者的只会是 (m + 1) r 或者 (m + 1) (r - 1) + 2,这样始终取掉一定数量使得留给后者(对手)的数量为: (m + 1)的倍数 + 1
这样最后一轮时,先者肯定取剩 1 个- -,当然后者取光咯,所以先者必胜 → (n - 1) % (m + 1) != 0 则先者必胜。
③当 n = (m + 1) r,先者取 m - 1 个,则又变成②了。
结论:保持对手取的时候数量为 (m + 1)的倍数 + 1 则必胜。
——现在的努力是为了小时候吹过的牛B!!