康托展开
康托展开的公式
把一个整数X展开成如下形式：
X=a[n]*(n-1)!+a[n-1]*(n-2)!+...+a[i]*(i-1)!+...+a[2]*1!+a[1]*0!
其中，a为整数，并且0<=a[i]<i(1<=i<=n)
康托展开的应用实例
{1,2,3,4,...,n}表示1,2,3,...,n的排列如 {1,2,3} 按从小到大排列一共6个。123 132 213 231 312 321 。
代表的数字 1 2 3 4 5 6 也就是把10进制数与一个排列对应起来。
他们间的对应关系可由康托展开来找到。
如我想知道321是{1,2,3}中第几个大的数可以这样考虑 ：
第一位是3，当第一位的数小于3时，那排列数小于321 如 123、 213 ，小于3的数有1、2 。所以有2*2!个。再看小于第二位2的：小于2的数只有一个就是1 ，所以有1*1!=1 所以小于321的{1,2,3}排列数有2*2!+1*1!=5个。所以321是第6个大的数。 2*2!+1*1!是康托展开。
再举个例子：1324是{1,2,3,4}排列数中第几个大的数：第一位是1小于1的数没有，是0个 0*3! 第二位是3小于3的数有1和2，但1已经在第一位了，所以只有一个数2 1*2! 。第三位是2小于2的数是1，但1在第一位，所以有0个数 0*1! ，所以比1324小的排列有0*3!+1*2!+0*1!=2个，1324是第三个大数。
3 5 7 4 1 2 9 6 8 展开为 98884。因为X=2*8!+3*7!+4*6!+2*5!+0*4!+0*3!+2*2!+0*1!+0*0!=98884.
解释：
排列的第一位是3，比3小的数有两个，以这样的数开始的排列有8!个，因此第一项为2*8!
排列的第二位是5，比5小的数有1、2、3、4，由于3已经出现，因此共有3个比5小的数，这样的排列有7!个，因此第二项为3*7!
以此类推，直至0*0!
康托展开的代码实现
s为数组，用来存储要求的数，形如(1,3,2,4)，n为数组中元素个数。 fac[x]为x!
* i,j,temp:integer;
* num:longint;
* begin
* num:=0;
* for i:=1 to n-1 do
* begin
* temp:=0;
* for j:=i+1 to n do
* if s[j]<s[ i ] then inc(temp);
* num:=num+fac[n-i]*temp;
* end;
* cantor:=num+1;
* end;
1 int contor(int t[8]) //康托展开 2 { 3 int tmp, ans = 0; 4 for(int i=0; i<8; i++) 5 { 6 tmp = 0; 7 for(int j=i+1; j<8; j++) 8 { 9 if(t[j] < t[i]) 10 { 11 tmp++; 12 } 13 } 14 ans += tmp*fac[7-i]; 15 } 16 return ans; 17 }
显然，n位（0~n-1）全排列后，其康托展开唯一且最大约为n!，因此可以由更小的空间来储存这些排列。
由公式可将X逆推出对应的全排列。
康托展开的逆运算
既然康托展开是一个双射，那么一定可以通过康托展开值求出原排列，即可以求出n的全排列中第x大排列。
如n=5,x=96时：
首先用96-1得到95，说明x之前有95个排列.(将此数本身减去！)
用95去除4! 得到3余23，说明有3个数比第1位小，
所以第一位是4. 用23去除3! 得到3余5，说明有3个数比第2位小，
所以是4，但是4已出现过，因此是5. 用5去除2!得到2余1，
类似地，这一位是3. 用1去除1!得到1余0，这一位是2.
最后一位只能是1. 所以这个数是45321.
按以上方法可以得出通用的算法。
