机器学习中的矩阵向量求导(四) 矩阵向量求导链式法则
在机器学习中的矩阵向量求导(三) 矩阵向量求导之微分法中，我们讨论了使用微分法来求解矩阵向量求导的方法。但是很多时候，求导的自变量和因变量直接有复杂的多层链式求导的关系，此时微分法使用起来也有些麻烦。需要一些简洁的方法。
本文我们讨论矩阵向量求导链式法则，使用该法则很多时候可以帮我们快速求出导数结果。
本文的标量对向量的求导，标量对矩阵的求导使用分母布局， 向量对向量的求导使用分子布局。如果遇到其他资料求导结果不同，请先确认布局是否一样。
1. 向量对向量求导的链式法则
首先我们来看看向量对向量求导的链式法则。假设多个向量存在依赖关系，比如三个向量$\mathbf{x} \to \mathbf{y} \to \mathbf{z}$存在依赖关系，则我们有下面的链式求导法则：$$\frac{\partial \mathbf{z}}{\partial \mathbf{x}} = \frac{\partial \mathbf{z}}{\partial \mathbf{y}}\frac{\partial \mathbf{y}}{\partial \mathbf{x}}$$
该法则也可以推广到更多的向量依赖关系。但是要注意的是要求所有有依赖关系的变量都是向量，如果有一个$\mathbf{Y}$是矩阵，，比如是$\mathbf{x} \to \mathbf{Y} \to \mathbf{z}$， 则上式并不成立。
从矩阵维度相容的角度也很容易理解上面的链式法则，假设$\mathbf{x} , \mathbf{y} ,\mathbf{z}$分别是$m,n.p$维向量，则求导结果$\frac{\partial \mathbf{z}}{\partial \mathbf{x}}$是一个$p \times m$的雅克比矩阵，而右边$\frac{\partial \mathbf{z}}{\partial \mathbf{y}}$是一个$p \times n$的雅克比矩阵，$\frac{\partial \mathbf{y}}{\partial \mathbf{x}}$是一个$n \times m$的矩阵，两个雅克比矩阵的乘积维度刚好是$p \times m$，和左边相容。
2. 标量对多个向量的链式求导法则
在我们的机器学习算法中，最终要优化的一般是一个标量损失函数，因此最后求导的目标是标量，无法使用上一节的链式求导法则，比如2向量，最后到1标量的依赖关系：$\mathbf{x} \to \mathbf{y} \to z$，此时很容易发现维度不相容。
假设$\mathbf{x} , \mathbf{y} $分别是$m,n$维向量, 那么$\frac{\partial z}{\partial \mathbf{x}}$的求导结果是一个$m \times 1$的向量, 而$\frac{\partial z}{\partial \mathbf{y}}$是一个$n \times 1$的向量，$\frac{\partial \mathbf{y}}{\partial \mathbf{x}}$是一个$n \times m$的雅克比矩阵,右边的向量和矩阵是没法直接乘的。
但是假如我们把标量求导的部分都做一个转置，那么维度就可以相容了，也就是：$$(\frac{\partial z}{\partial \mathbf{x}})^T = (\frac{\partial z}{\partial \mathbf{y}})^T\frac{\partial \mathbf{y}}{\partial \mathbf{x}} $$
但是毕竟我们要求导的是$(\frac{\partial z}{\partial \mathbf{x}})$,而不是它的转置，因此两边转置我们可以得到标量对多个向量求导的链式法则：$$\frac{\partial z}{\partial \mathbf{x}} = (\frac{\partial \mathbf{y}}{\partial \mathbf{x}} )^T\frac{\partial z}{\partial \mathbf{y}}$$
如果是标量对更多的向量求导,比如$\mathbf{y_1} \to \mathbf{y_2} \to ...\to \mathbf{y_n} \to z$，则其链式求导表达式可以表示为：$$\frac{\partial z}{\partial \mathbf{y_1}} = (\frac{\partial \mathbf{y_n}}{\partial \mathbf{y_{n-1}}} \frac{\partial \mathbf{y_{n-1}}}{\partial \mathbf{y_{n-2}}} ...\frac{\partial \mathbf{y_2}}{\partial \mathbf{y_1}})^T\frac{\partial z}{\partial \mathbf{y_n}}$$
这里我们给一个最常见的最小二乘法求导的例子。最小二乘法优化的目标是最小化如下损失函数:$$l=(X\theta - y)^T(X\theta - y)$$
我们优化的损失函数$l$是一个标量，而模型参数$\theta$是一个向量，期望L对$\theta$求导，并求出导数等于0时候的极值点。我们假设向量$z = X\theta - y$, 则$l=z^Tz$， $\theta \to z \to l$存在链式求导的关系，因此：$$\frac{\partial l}{\partial \mathbf{\theta}} = (\frac{\partial z}{\partial \theta} )^T\frac{\partial l}{\partial \mathbf{z}} = X^T(2z) =2X^T(X\theta - y)$$
其中最后一步转换使用了如下求导公式：$$\frac{\partial X\theta - y}{\partial \theta} = X$$ $$\frac{\partial z^Tz}{\partial z} = 2z$$
这两个式子我们在前几篇里已有求解过，现在可以直接拿来使用了，非常方便。
当然上面的问题使用微分法求导数也是非常简单的，这里只是给出链式求导法的思路。
3. 标量对多个矩阵的链式求导法则
下面我们再来看看标量对多个矩阵的链式求导法则，假设有这样的依赖关系：$\mathbf{X} \to \mathbf{Y} \to z$,那么我们有：$$\frac{\partial z}{\partial x_{ij}} = \sum\limits_{k,l}\frac{\partial z}{\partial Y_{kl}} \frac{\partial Y_{kl}}{\partial X_{ij}} =tr((\frac{\partial z}{\partial Y})^T\frac{\partial Y}{\partial X_{ij}})$$
这里大家会发现我们没有给出基于矩阵整体的链式求导法则，主要原因是矩阵对矩阵的求导是比较复杂的定义，我们目前也未涉及。因此只能给出对矩阵中一个标量的链式求导方法。这个方法并不实用，因为我们并不想每次都基于定义法来求导最后再去排列求导结果。
虽然我们没有全局的标量对矩阵的链式求导法则，但是对于一些线性关系的链式求导，我们还是可以得到一些有用的结论的。
我们来看这个常见问题：$A,X,B,Y$都是矩阵，$z$是标量，其中$z= f(Y), Y=AX+B$,我们要求出$\frac{\partial z}{\partial X}$,这个问题在机器学习中是很常见的。此时，我们并不能直接整体使用矩阵的链式求导法则，因为矩阵对矩阵的求导结果不好处理。
这里我们回归初心，使用定义法试一试,先使用上面的标量链式求导公式：$$\frac{\partial z}{\partial x_{ij}} = \sum\limits_{k,l}\frac{\partial z}{\partial Y_{kl}} \frac{\partial Y_{kl}}{\partial X_{ij}}$$
我们再来看看后半部分的导数：$$ \frac{\partial Y_{kl}}{\partial X_{ij}} = \frac{\partial \sum\limits_s(A_{ks}X_{sl})}{\partial X_{ij}} = \frac{\partial A_{ki}X_{il}}{\partial X_{ij}} =A_{ki}\delta_{lj}$$
其中$\delta_{lj}$在$l=j$时为1，否则为0.
那么最终的标签链式求导公式转化为：$$\frac{\partial z}{\partial x_{ij}} = \sum\limits_{k,l}\frac{\partial z}{\partial Y_{kl}} A_{ki}\delta_{lj} = \sum\limits_{k}\frac{\partial z}{\partial Y_{kj}} A_{ki}$$
即矩阵$A^T$的第i行和$\frac{\partial z}{\partial Y} $的第j列的内积。排列成矩阵即为：$$\frac{\partial z}{\partial X} = A^T\frac{\partial z}{\partial Y}$$
总结下就是：$$z= f(Y), Y=AX+B \to \frac{\partial z}{\partial X} = A^T\frac{\partial z}{\partial Y}$$
这结论在$\mathbf{x}$是一个向量的时候也成立，即：$$z= f(\mathbf{y}), \mathbf{y}=A\mathbf{x}+\mathbf{b} \to \frac{\partial z}{\partial \mathbf{x}} = A^T\frac{\partial z}{\partial \mathbf{y}}$$
如果要求导的自变量在左边，线性变换在右边，也有类似稍有不同的结论如下，证明方法是类似的，这里直接给出结论：$$z= f(Y), Y=XA+B \to \frac{\partial z}{\partial X} = \frac{\partial z}{\partial Y}A^T$$ $$z= f(\mathbf{y}), \mathbf{y}=X\mathbf{a}+\mathbf{b} \to \frac{\partial z}{\partial \mathbf{X}} = \frac{\partial z}{\partial \mathbf{y}}a^T$$
使用好上述四个结论，对于机器学习尤其是深度学习里的求导问题可以非常快的解决,大家可以试一试。
4. 矩阵向量求导小结
矩阵向量求导在前面我们讨论三种方法，定义法，微分法和链式求导法。在同等情况下，优先考虑链式求导法，尤其是第三节的四个结论。其次选择微分法、在没有好的求导方法的时候使用定义法是最后的保底方案。
基本上大家看了系列里这四篇后对矩阵向量求导就已经很熟悉了，对于机器学习中出现的矩阵向量求导问题已足够。这里还没有讲到的是矩阵对矩阵的求导，还有矩阵对向量，向量对矩阵求导这三种形式，这个我们在系列的下一篇，也是最后一篇简单讨论一下，如果大家只是关注机器学习的优化问题，不涉及其他应用数学问题的，可以不关注。
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