三分法求单峰(单谷)函数极值

## what is 三分法 对于二分，相信你一定十分熟悉。就是在一个具有单调性序列上查找你所需要的数字。由于其单调性，你每一次在查找是就可以将规模缩小一半，大致就是： 1.假设这个数列单调递增 2.维护一个区间左端点$l$，区间右端点r和中间点$mid$ 3.如果$mid$比想要的值小，则左边肯定不可以，那么$l=mid$ 2.如果$mid$比想要的值大，则右边肯定不可以，那么$r=mid$ 因此大致就可以这么写： ``` while (l+1>1; if (v

三分法求二次函数峰值

对于三分，我们用左端点\(lmid\)和\(rmid\)进行维护，将这个图像分成三段。并且图像区间的左右端点分别是\(l<r.\)则我们可以选择这么考虑：（以二次函数\(y=-5x^{2}+8x-1\)为例）
如图所示：

当\(lmid\)处于\(A\)点,\(rmid\)处于\(B\)点时：可将左端点\(l\)缩到\(lmid\)，右端点不变以保证极值存在。
当\(lmid\)处于\(A\)点,\(rmid\)处于\(C\)点时：照样可以将\(l\)缩到\(lmid\)。
同理，
当\(lmid\)处于\(C\)点,\(rmid\)处于\(D\)点时：可将右端点\(r\)缩到\(rmid\)，左端点不变以保证极值存在。
当\(lmid\)处于\(B\)点,\(rmid\)处于\(B\)点时：照样可以将\(r\)缩到\(rmid\)。
故得到结论：

\[f(l)<f(r)→l=lmid \]

\[f(l)≥f(r)→r=rmid \]

然后就进行简单的代码实现：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
double a,b,c;
inline double f(double x) {
	return a*x*x+b*x+c;
}
int main(void)
{
	cin>>a>>b>>c;
	//形如y=ax^2+by+c的二次函数
	double l=-1e9,r=1e9;
	while (l+1e-9<r)
	{
		double lmid=l+(r-l)/3.0;
		//图像上位于1/3部分的靠左的mid值 
		double rmid=l+(r-l)/3.0*2.0;
		//图像上位于2/3部分的靠右的mid值
		if (f(lmid)<f(rmid)) l=lmid;
		else r=rmid;
		//求单峰极值 
	} 
	cout<<"X="<<l<<'\n';
	cout<<"Y="<<f(l); 
} 

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二次函数求单谷谷值 & 高次函数应用

通过画图和分类讨论\(a<0\)的情况，不难得出：

\[f(l)＞f(r)→l=lmid \]

\[f(l)≤f(r)→r=rmid \]

代码实现只要if内反一下即可：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
double a,b,c;
inline double f(double x) {
	return a*x*x+b*x+c;
}
int main(void)
{
	cin>>a>>b>>c;
	//形如y=ax^2+by+c的二次函数
	double l=-1e9,r=1e9;
	while (l+1e-9<r)
	{
		double lmid=l+(r-l)/3.0;
		//图像上位于1/3部分的靠左的mid值 
		double rmid=l+(r-l)/3.0*2.0;
		//图像上位于2/3部分的靠右的mid值
		if (f(lmid)>f(rmid)) l=lmid;
		else r=rmid;
		//求单峰极值 
	} 
	cout<<"X="<<l<<'\n';
	cout<<"Y="<<f(l); 
} 

如果需要高次函数过其它图像，只要在f内稍作修改即可。