《剑指offer》 —— 青蛙跳台阶问题

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题目

一只青蛙一次可以跳上\(1\)级台阶，也可以跳上\(2\)级台阶。求该青蛙跳上一个 \(n\)级的台阶总共有多少种跳法。

答案需要取模 \(1e9+7\)（\(1000000007\)），如计算初始结果为：\(1000000008\)，请返回 \(1\)。

提示：\(n\) 的取值为 \([0, 100]\)

解题思路

令 \(n\) 级台阶的跳法为 \(Sn\)，
当 \(n\) 为 \(0\) 时，\(S\mathop{{}}\nolimits_{{0}} = 1\)
当 \(n\) 为 \(1\) 时，\(S\mathop{{}}\nolimits_{{1}} = 1\)
当 \(n\) 为 \(2\) 时，\(S\mathop{{}}\nolimits_{{2}} = 2\)
当 \(n\) 为 \(3\) 时，\(S\mathop{{}}\nolimits_{{3}} = 3\)
当 \(n\) 为 \(4\) 时，\(S\mathop{{}}\nolimits_{{4}} = 5\)
...
当台阶数为 \(n\) 时，\(S\mathop{{}}\nolimits_{{n}}=S\mathop{{}}\nolimits_{{n - 1}}+S\mathop{{}}\nolimits_{{n-2}}\text{（}n \ge 2\text{）} \)

第一版代码

根据上面推出的状态转移方程，我们很容易写出如下代码

/**
 * @param {number} n
 * @return {number}
 */
var numWays = function(n) {
    if (n === 0 || n === 1) {
        return 1
    }
    const mod = 1000000007
    const res = [1, 1]
    for (let i = 2; i <= n; i++) {
        res[i] = (res[i - 1] + res[i - 2]) % mod
    }
    return res[n]
};

优化代码

在上面的代码中我们发现，res[i] 取决于 res[i - 1] 和 res[i - 2]，所以我们大可不必使用数组，直接改用三个变量也能将代码实现：

/**
 * @param {number} n
 * @return {number}
 */
var numWays = function(n) {
    if (n === 0 || n === 1) {
        return 1
    }
    const mod = 1000000007
    let first = 1
    let second = 1
    let res = 0
    for (let i = 2; i <= n; i++) {
        res = (first + second) % mod
        first = second
        second = res
    }
    return res
};

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