考前复习——差分、前缀和

前缀和

前缀和可以简单理解为「数列的前 n 项的和」

对于一维前缀和 简单的处理方式为b[i]=b[i-1]+a[i]

若需访问[l,r]区间的和 有b[r]-b[l-1]

对于二维前缀和

有

sum[i][j]=sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1]+a[i][j]

访问任意矩阵前缀和为

sum[l2][r2]-sum[l1-1][r2]-sum[l2][r1-1]+sum[l1-1][r1-1]

差分

差分是一种和前缀和相对的策略，可以当做是求和的逆运算。

它可以维护多次对序列的一个区间加上一个数，并在最后询问某一位的数或是多次询问某一位的数。

即区间修改，单点查询

差分使

a[0]=0; for(int i=1;i<=n;i++) b[i]=a[i]-a[i-1]

这样 a[i]的值即为b[i]的前缀和
即 a[n]=sum(b[1~n])

a[i]的前缀和也可以用差分数组求出

for k=i k<=n k++: sum+=(n-i+1)*b[k]

使用差分数组时 若使[l,r]区间都加上k 那么b[l]+=k , b[r+1]-=k即可

那么这个公式是怎么来的呢？

b[l] + c，效果使得a 数组中a[l] 及以后的数都加上了c(红色部分)

但我们只要求l 到r 区间加上c,

因此还需要执行b[r + 1] - c,让a 数组中a[r + 1]及往后的区间再减去c(绿色部分)

这样对于a[r] 以后区间的数相当于没有发生改变。

• 二维差分

当然 差分这个方法也可以扩展至二维

若使a[][]数组是b[][]数组的前缀和数组，那么b[][]是a[][]的差分数组

原数组： a[i][j] 我们去构造差分数组： b[i][j]

使得a 数组中a[i][j]是b 数组左上角(1,1)到右下角(i,j)所包围矩形元素的和。

如何构造？ 似乎有些难想

事实上，我们并不用考虑其构造方法，因为我们使用差分操作在对原数组进行修改的过程中，就可以构造出差分数组。

当我们构建好差分数组b[][]时 若要使(x1,y1)为左上角 (x2,y2)为右下角的子矩阵加上c

我们会进行以下操作

1. b[x1][y1] + = c ;
2. b[x1,][y2+1] - = c;
3. b[x2+1][y1] - = c;
4. b[x2+1][y2+1] + = c;

1操作使蓝色区域加上c

2操作使绿色区域减去c

3操作使紫色区域减去c

4操作使红色区域重新加上c来恢复

我们将以上操作封装为一个插入函数

//!!!注意!!! y0,y1均为<math.h>库中函数！
void insert(int x,int y,int xx,int yy,int c)
{
	b[x][y]+=c;
	b[x][yy+1]-=c;
	b[xx+1][y]-=c;
	b[xx+1][yy+1]+=c;
}

那么这有什么卵用呢？

事实上..

若先假想a为空 那么b也为空

我们每次让以(i,j)为左上角到以(i,j)为右下角去插入c = a[i][j] ，等价于原数组a 中(i,j)

到(i,j)范围内加上了a[i][j] ,因此执行n*m 次插入操作，就成功构建了差分b 数组.

所以构造二维差分只需这样

for(int i=1;i<=n;i++)
{
    for(int j=1;j<=m;j++)
    {
        insert(i,j,i,j,a[i][j]);
    }
}