幂等矩阵的性质及证明

定义：若$AA=A$，则称$A$为幂等矩阵。

1.幂等矩阵的特征值只取1和0两个数值

证明：

设$\lambda$是幂等矩阵$A$的特征值，$\bold{v}$是与$\lambda$对应的特征向量，则

$\lambda \bold{v}=A\bold{v}=A^2 \bold{v}=\lambda^2 \bold{v}$

即$(\lambda^2-\lambda)\bold{v}=\bold{0}$

因为 $\bold{v}\not=\bold{0}$，所以$(\lambda^2-\lambda)=0$，故$\lambda=0$或$1$.

2.幂等矩阵一定可以对角化

证明：

证明此性质需用到两个引理：

引理1：$r(A+B) \leq r(A)+r(B)$  (这里$r$表示矩阵的秩)

引理2：$A_{m \times n} B_{n \times k} \leq n$

现假设A为$n \times n$的幂等矩阵，且$r(A)=r$

因为$A(E-A)=A-AA=A-A=0$

所以$n=r(E)=r(A+(E-A)) \leq r(A)+r(E-A) \leq n$

故有$r(A)+r(E-A) = n$

设$\lambda$是矩阵$A$的特征值，根据上面的性质1，$\lambda=0$或$1$

对应于$\lambda=0$的有$n-r(0 \times E-A)$个线性无关的特征向量(即方程$(0 \times E-A)x=0$基础解系有$n-r(0 \times E-A)$个基向量)

对应于$\lambda=1$的有$n-r(1 \times E-A)$个线性无关的特征向量

由于$r(0 \times E-A) + r(1 \times E-A) = r(A)+r(E-A) = n$

所以$A$有$[n-r(0 \times E-A)] + [n-r(1 \times E-A)] = n$个线性无关的特征向量，所以$A$一定可以对角化，其对角化之后的形式可表示为

3.所有幂等矩阵的秩与迹相等，即$r(A)=tr(A)$ 

证明：由性质2容易导出该性质。

4.假设A为$n \times n$的幂等矩阵，且$r(A)=r$，则$A$有$r$个特征值1，$n-r$个特征值0

证明：由性质2容易导出该性质。