$rank(A^TA)=rank(AA^T)=rank(A)=rank(A^T)$

假设$A$是$m*n$矩阵，可通过证明$Ax=0$和$A^TAx=0$这两个n元方程有相同解来证明$rank(A^TA)=rank(A)$。

(1) $Ax=0 \rightarrow A^TAx=0$，即方程$Ax=0$的解也是$A^TAx=0$的解；

(2) $A^TAx=0 \rightarrow x^TA^TAx=0 \rightarrow (Ax)^T(Ax)=0 \rightarrow Ax=0$，即方程$A^TAx=0$的解也是$Ax=0$的解。

同理可证明$rank(AA^T)=rank(A)$。