NOIWC2025 实录

Day 1

杂题选做

[ABC387G] Prime Circuit

原题链接：https://atcoder.jp/contests/abc387/tasks/abc387_g

简要题意：对于 $n$ 个点、有标号、每个环长度均为奇质数的仙人掌计数。

考虑 Prüfer 序列的相关结论：一个 $n$ 个点 $m$ 条边的有标号无向图有 $k$ 个连通块，需要添加 $(k-1)$ 条边使得整个图连通，令每个连通块大小为 $s_i$，方案数为 $n^{k-2}\cdot \prod _{i=1}^k{s}_i$。

结合一些有标号图的计数技巧：每次加入一个环，钦定结点 $1$ 所在的环大小为 $c(c=1\vee c\in \mathbb{P})$（其中 $\mathbb{P}$ 表示质数集）——令 $f_i$ 为 $i$ 个点时答案的系数和（即最终答案为 $n^{-2}{f}_n$），有转移 $f_i=n\sum _{c=1}^i[c=1\vee c\in \mathbb{P}]\cdot c\cdot {\mathrm{C}}_{i-1}^{c-1}\cdot \frac{(c-1)!}{2}\cdot f_{i-c}$。暴力做时间复杂度为 $O\left({\displaystyle \frac{n^2}{\ln n}}\right)$。

正解是多项式复合，但是考虑到 $12\mathrm{s}$ 的时限，所以尝试直接做。将求和中的一些系数提到外面算，加法时使用 __int128 最后统一取模；实测可以在 $11\mathrm{s}$ 内通过。

提交记录：Submission #61721116

[ABC282G] Similar Permutation

原题链接：https://atcoder.jp/contests/abc282/tasks/abc282_g

简要题意：长为 $n$ 的排列 $a$ 与 $b$ 的相似度被定义为：满足 $(a_{i+1}-a_i)(b_{i+1}-b_i)>0(1\le i<n)$ 的 $i$ 的数量。求有多少对 $1\sim n$ 的排列相似度恰为 $k$，答案对 $P$ 取模。

考虑 AtCoder DP 经典 26 题中 Permutation 的套路，令 $f_{i,s,a,b}$ 为考虑了前 $i$ 个位置，当前相似度为 $s$，第一个排列中填入的最后一个数在之前的数中排名为 $a$、第二个排列中填入的最后一个数在之前的数中排名为 $b$ 的方案数；转移分四种情况讨论，暴力做时间复杂度是 $O(n^5)$ 的、空间复杂度是 $O(n^4)$ 的，无法通过；但是考虑到第一维可以滚动数组优化，而转移时可以使用二维前缀和优化，这样时间复杂度是 $O(n^4)$ 的，空间复杂度是 $O(n^3)$ 的。

提交记录：Submission #61751215

Day 2

浅谈非确定性算法 - 周康阳

[CF1764F] Kazaee

原题链接：https://codeforces.com/contest/1746/problem/F

考虑将每个值随机替换为 $0/1$，只需查询区间内所有元素的和并判断其是否是 $k$ 的倍数。

上面的方法正确率为 $\frac{1}{k}$，多做几次即可保证正确性。修改过程可以用树状数组维护。

[NOI2013] 向量内积

原题链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P1224

提供一种不一样的做法。$n=2$ 直接 bitset 暴力做，对于 $n=3$，考虑对于每种乘法分讨，$1\times 2$ 与 $2\times 1$ 可以用异或处理，于是也能压进 bitset。

但是这样时间复杂度还是太高了，于是随机一下，就比较难卡了。

周康阳原创题

简要题意：给定一个长度为 $n(n\le 5\times {10}^4)$ 的序列，值域为 $[0,2^{60})$，支持区间翻转，查询区间内选出一个子集使得该子集内元素异或和最大，操作次数 $\le 5\times {10}^4$。

随机 $\frac{n}{2}$ 个点置为 $0$，每次查询区间异或和，做 $100$ 次塞进线性基里求最大值。单次错误率为 $\frac{1}{2}$，做 $100$ 次错误率即为 $2^{-100}$。

【模板】一般图最大匹配

原题链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P6113

好像是一种很牛的线性代数做法。OI-Wiki 链接

[CF1641D] Two Arrays

原题链接：https://codeforces.com/contest/1641/problem/D

将值域随机映射到 $[1,15]$ 中，之后跑高维前缀和。

Day 3

杂题选做

[EGOI2024] Team Coding

原题链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P10846

数据范围提示我们进行根号分治。

选定一个阈值 $B$。对于使用人数 $\le B$ 的编程语言（不妨认为出现了 $c$ 次），枚举团队领导 $u$，再暴力枚举其他使用该编程语言的人对应的结点，如果该结点本来不在 $u$ 子树内并且 $u$ 子树内对应深度有“空位”（即可以与其交换，并使答案增大的结点），那么对其进行一次操作，使其进入 $u$ 的子树内。处理子树内空位数量可以对于每个深度预处理出所有的点的 dfs 序，子树查就变成了区间查，直接 lower_bound 就可以了。这一部分的时间复杂度为 $O(c^2\log c)$。

对于使用人数 $>B$ 的编程语言，仍然考虑每个团队领导 $u$，对于每个深度考虑，第一个答案（人数）即为“$u$ 的子树内该深度的结点个数”与“整棵树中使用该编程语言且位于该深度的人数”的较小值，将它们求和即为总答案；第二个答案（操作次数）只需在第一个答案的基础上直接减去“$u$ 子树内使用该编程语言且位于该深度的人数”。以上需要的所有信息可以直接在整棵树上借助 std::unordered_map 做启发式合并。这一部分的时间复杂度为 $O(n\log n)$。

取 $B=\sqrt{n}$，总的时间复杂度为 $O(n\sqrt{n}\log n)$。

思维型题目选讲 - 郭羽冲

[IOI2019] 折线

原题链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P7195

讲义中提到了直接构造的做法。一种比较直观的想法是：一圈一圈往里绕，但是如果有点在角上那么段数可能达到 $2n$；如果 $x_i=y_i=i$，则应当从左下开始依次经过每个点。将两种想法结合，维护三个序列 $a,b,c$，依次对应绕圈，左上-右下、左下-右上。四步为一轮，依次选择当前 $x$ 最小，$y$ 最小，$x$ 最大，$y$ 最大的点。若某次选择点之后发现无法与上一个点衔接，则说明一个点在角上，可以将其放入 $b$ 和 $c$ 中，依次访问三个序列，总共需要 $(n+3)$ 条线段。

[3rd Ucup Stage 21] Diverge and Converge

原题链接：https://qoj.ac/contest/1872/problem/9881

选择在两棵树中度数之和最小的点 $u$，所有点度数和为 $4(n-1)$，因此 ${\mathrm{deg}}_1(u)+{\mathrm{deg}}_2(u)\le 3$。

若 $u$ 在两棵树中均为叶子，则交换对应的边并删除 $u$ 即可递归子问题。否则不妨设 ${\mathrm{deg}}_1(u)=1$ 且 ${\mathrm{deg}}_2(u)=2$，令 $(u,a)\in T_1$ 且 $(u,b),(u,c)\in T_2$，且 $T_2$ 中 $(u,b)$ 在 $u\to a$ 的简单路径上。在 $T_1$ 与 $T_2$ 中将 $u$ 删除，并向 $T_2$ 中加入边 $(b,c)$，递归子问题。在子问题的解决中，必有一步交换 $(b,c),(d,e)$，将这一步扩展为：交换 $(u,a),(u,b)$，交换 $(u,c),(d,e)$ 即可得到原问题的解。

直接暴力做，时间复杂度 $O(n^2)$。

Day 4

考试日。

Day 5

试题题解

更新一下昨天的试题题解。

T1 猫粮（catfood）

以下将优质猫粮记为 A，普通猫粮记为 B。

注意到只有 $2n$ 个猫粮，而猫有 $n$ 个，又因为每个猫至少要吃两个猫粮，所以每个猫正好会吃两个。就变成了匹配问题。

考虑 AB 先匹配，然后 AA 匹配（如果剩余的 A 有奇数个考虑补一个进去，以下不妨设 A 个数为偶数；如果 A 的个数为 $2$，那么只要满足 $a_1+a_2=m$ 即可；否则需要满足 $mmod2=0\wedge \mathrm{\forall }i,a_i=\frac{m}{2}$），最后还要判 BB 是否能匹配（不判这个只有 $95$ 分）。

T2 Nim 游戏（nim）

TBD。

T3 士兵（soldier）

考虑简单 DP，设 $f_{i,j}$ 为考虑了前 $i$ 个位置，该位置上有 $j$ 次攻击的最大收益，直接暴力 $O(nV)$ 转移可以拿 $20$ 分。离散化一下（存储每个 $a_i$ 和 $a_i-1$）可以做到 $O(n^2)$ 的 $40$ 分。

发现每次转移只有一个关键点可能被大改（$a_i$ 或者 $a_i-1$），其他都可以用区间加简单地解决。于是拍个线段树上去，$O(n\log n)$ 直接过了。

Day 6

今天没有前去听课，因为教授的内容比较科技。

在寝室里研究一个难题，到晚上终于研究出来了。

杂题选做

[EGOI2022] Social Engineering

原题链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P9319

尝试猜测 Maria 会赢的充分条件：令在原图中与结点 $1$ 相邻的点为“关键点”，假设将结点 $1$ 和与其相邻的所有点的边都删去，只需要存在一个连通块中包含奇数个关键点，这个时候 Maria 每次随便选一个还没选过的点挑战就能赢。

对于其他情况，可以证明我们一定能赢，所以上述条件是充要的。只需要将每个连通块内的关键点两两匹配，并对于每一对匹配的关键点 $(u_i,v_i)$ 都找出一条 $u_i$ 到 $v_i$ 的简单路径 $p_i$，使得对于任意两条不同的路径 $p_i,p_j$，都不存在一条边同时出现在它们之中。

当 Maria 问到一个关键点时（不妨设为 $u_i$），只需沿着 $p_i$ 一路挑战到 $v_i$，最后挑战结点 $1$。

考虑每个连通块，求出满足条件的匹配。求出该连通块的一棵生成树，在树上自底而上贪心匹配（能匹配就匹配）；由于连通块内关键点个数为偶数，这样匹配是满足条件的。

说起来简单，但是这个东西巨难写。写了一个下午 + 一个晚上，闹麻了。