杂题选讲 #1：二分图边着色

Vizing 定理

定义

考虑如下的问题：对一个无向图的边进行着色，要求相邻的边染不同种颜色。问
需要的最少的颜色数是多少。

解决上述问题需要借助 Vizing 定理（又称维金定理）。

在开始之前，我们先进行一些符号的规定。

• $\mathrm{\Delta }(G)$：无向图 $G=(V,E)$ 的最大度数，即 $\mathrm{\Delta }(G)=\underset{i\in V}{max}\mathrm{deg}i$；
• $\chi (G)$：若无向图 $G$ 是 $k$ - 边可着色的，但不是 $(k-1)$ - 边可着色的，则称 $\chi (G)$ 为 $G$ 的边色数，记为 $\chi (G)$。

Vizing 定理的内容如下：

• 对于简单无向图 $G$，有 $\mathrm{\Delta }(G)\le \chi (G)\le \mathrm{\Delta }(G)+1$；
• 特别地，对于二分图 $G$，有 $\mathrm{\Delta }(G)=\chi (G)$。

我们今天仅讨论后者的情况，即二分图的边着色。

证明

二分图上的 Vizing 定理为什么是正确的？

首先，必要性是显然的——不可能用比某个点的度数还少的颜
色数完成着色。

至于充分性，使用构造性证明。考虑执行如下算法：

对于二分图 $G=(V,E)$，按顺序在二分图中加边。

加入一条边 $(u,v)$ 时，尝试寻找对于 $u$ 和 $v$ 的编号最小且未使用过的颜色（你可以理解为 $\mathrm{mex}$），设为 $A$ 和 $B$。

如果 $A=B$，那么直接将这条边染上 $A$。

否则令 $A<B$，尝试将连接 $v$ 的颜色为 $A$ 的边的颜色强制改为 $B$。

这样可能还会产生矛盾，假设这条边连接的另一个结点（设为 $w$）上产生了矛盾，就把连接 $w$ 的颜色为 $B$ 的边的颜色再强制改为 $A$……

我们发现这是一个不断寻找增广路并对路径上的边交替染色的过程。

由于二分图不存在奇环，所以结点 $u$ 不可能在增广路上，否则会与“最小未使用颜色为 $A$”矛盾。

时间复杂度 $O(nm)$，其中 $n=|V|$，$m=|E|$。

模板题 CF600F

题意简述

构造出一组二分图边着色方案使得使用的颜色数最少。

数据范围：$1\le n_1,n_2\le 1000$，$1\le m\le {10}^5$

题目信息

来源：Codeforces

难度：$\mathtt{\text{*2800}}$

正解

解法：完完全全的模板。实现时可以将其封装成一个类。

参考代码（C++17）：

Submission #247875843 - Codeforces

[SNOI2024] 拉丁方

题意简述

定义一个 $n\times n$ 的矩阵 $A$ 为拉丁方，当且仅当每行每列都是一个 $1\sim n$ 的排列。

给定一个矩阵 $A$ 左上角的一个 $R\times C$ 的子矩阵，也就是 $A_{i,j}$（$1\le i\le R$，$1\le j\le C$）。问能不能将剩下的位置填上数使得它是一个拉丁方。如果可以，构造出任意一组合法方案。

数据范围：多测，$1\le T\le 5$，$1\le R,C\le n\le 500$，输入的子矩阵不存在一行或者一列有两个相同的数。

题目信息

来源：陕西省 NOI 省队选拔赛 2024 D1T3

难度：$\mathtt{\text{NOI/NOI+/CTSC}}$

特殊性质 B：$C=n$。

解法：从特殊性质 B 出发，可以观察到在这种情况下每一列要填哪些值都知道了，但是不知道每个值要填在哪一行。

于是考虑建出二分图，由未使用的值向列连边；因为要求同一行不能有相同的值，所以直接跑二分图边染色。

最终每条边的颜色即为该值在该列的行数。

可以证明这种情况下一定有解：此时对于每种颜色所有边构成了一组完美匹配。

正解

那么如何将上述做法扩展到 $C$ 任意的情况？

考虑把原矩阵“补”成一个 $C=n$ 的矩阵（就是把右上角那一块填上）再运用上述算法。仍然使用上面的做法，这次由值向行连边，然后每条边的颜色就是其所在的列。注意如果使用的颜色数 $p\ne n-C$（此时有点度数大于 $n-C$）那么无解。

温馨提示：这题时限 5s，如果你还卡不过去，那么请把 int 换成 short。

参考代码（C++17）：

提交记录 #335745 - QOJ.ac

练习题 & 总结

Vizing 定理算是一个比较冷门的知识点，直到 SNOI2024 它才逐渐变得广为人知。该类型的练习题较少，这里有两道可供参考：

• UVa10615 Rooks
• AtCoder AGC037D Sorting a Grid

参考资料：

• 图的着色 - OI Wiki
• 本人题解：[SNOI2024] 拉丁方 题解 by $\mathrm{FFTotoro}$