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CF1656F Parametric MST 题解

为了便于解题，先对 $a$ 数组从小到大进行排序。

首先，根据定义可以得出总价值的表达式：

\begin{aligned} W & = \sum_{(u, v) \in E} [a_{u} a_{v} + t (a_{u} + a_{v})] \\ = \sum_{(u, v) \in E} a_{u} a_{v} + t \sum_{(u, v) \in E} (a_{u} + a_{v}) \end{aligned}

接着，我们需要发现一个比较重要的性质：

$w_{i, j} (t) = a_{i} a_{j} + t (a_{i} + a_{j}) = (a_{i} + t) (a_{j} + t) - t^{2}$

也就是说，如果固定一个 $t$ ，那么 $t^{2}$ 就是定值，可以暂不考虑； $\forall 1 \leq i \leq n$ ，如果 $a_{i} + t$ 是正数，就向结点 $1$ 连边以最小化该点的贡献；如果 $a_{i} + t$ 是负数，就向结点 $n$ 连边（如果 $a_{i} + t = 0$ 那么向哪个点连边都一样）。最后去掉 $1$ 与 $n$ 之间的重边以及若干自环，即可构造出正好有 $n - 1$ 条边的最小生成树。

现在来考虑一下无解的情况：

如果 $\forall 1 \leq i \leq n, a_{i} + t > 0$ ，那么除了 $1$ 以外的所有结点向 $1$ 连边，有

$\begin{aligned} W & = \sum_{(u, v) \in E} a_{u} a_{v} + t \sum_{(u, v) \in E} (a_{u} + a_{v}) \\ = a_{1} \sum_{i = 2}^{n} a_{i} + t [(n - 1) a_{1} + \sum_{i = 2}^{n} a_{i}] \end{aligned}$
可以发现， $W$ 是关于 $t$ 的一次函数。由于满足 $\forall 1 \leq i \leq n, a_{i} + t > 0$ ，所以如果一次项系数 $(n - 1) a_{1} + \sum_{i = 2}^{n} a_{i} > 0$ ，那么当 $t \to + \infty$ 时 $W \to + \infty$ ，该函数不存在最大值。
如果 $\forall 1 \leq i \leq n, a_{i} + t < 0$ ，同理有：

$\begin{aligned} W & = a_{n} \sum_{i = 1}^{n - 1} a_{i} + t [(n - 1) a_{n} + \sum_{i = 1}^{n - 1} a_{i}] \end{aligned}$
类似的，如果 $(n - 1) a_{n} + \sum_{i = 1}^{n - 1} a_{i} < 0$ ，当 $t \to - \infty$ 时， $W \to + \infty$ ，不存在最大值。

综上，如果 $(n - 1) a_{1} + \sum_{i = 2}^{n} a_{i} > 0$ 或 $(n - 1) a_{n} + \sum_{i = 1}^{n - 1} a_{i} < 0$ ，边权和不存在最大值，直接输出 INF 即可。

现在来考虑有解时如何寻找解。这时我们就需要引入一个新的性质：

如果 $W$ 能取到最大值， $- t$ 的值一定是 $a$ 数组中的其中一个元素的值。

证明：

容易得知当 $W$ 取到最值时， $a_{1} \leq - t \leq a_{n}$ （否则函数不收敛）。

当 $- t \in [a_{i}, a_{i + 1}] (1 \leq i < n)$ 时，最优的连边方式之一是将所有的 $1 \leq j \leq i$ 向结点 $n$ 连边（因为这些 $j$ 满足 $a_{j} + t \leq 0$ ），其他结点向 $1$ 连边。所以我们可以得到 $W$ 的表达式：

$\begin{aligned} W & = a_{n} \sum_{j = 2}^{i} a_{j} + t [(i - 1) a_{n} + \sum_{j = 2}^{i} a_{j}] + a_{1} \sum_{j = i + 1}^{n} a_{j} + t [(n - i) a_{1} + \sum_{j = i + 1}^{n} a_{j}] \end{aligned}$
（注意到这里 $1$ 和 $n$ 之间的边仅仅被连了一次，所以最终不用考虑重边的影响。）

在这里因为 $i$ 确定，所以 $W$ 还是关于 $t$ 的一次函数，最值必然在 $- t = a_{i}$ 或 $- t = a_{i + 1}$ 时取到。命题得证。

接下来只用枚举 $i = 1, 2, \dots, n$ ，然后令 $t = - a_{i}$ ，将 $t$ 带入证明中的那个表达式算出 $W$ 的值。在所有的 $W$ 中找到 $W_{max}$ 并输出即可。

中间那一些求和的式子可以使用前缀和维护。

放代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
main(){
  ios::sync_with_stdio(false);
  int t; cin>>t;
  while(t--){
    int n,c=LLONG_MIN; cin>>n;
    vector<int> a(n),s;
    for(auto &i:a)cin>>i;
    sort(a.begin(),a.end()); // 排序
    partial_sum(a.begin(),a.end(),back_inserter(s)); // 做前缀和
    if(a[0]*(n-2)+s[n-1]>0||a[n-1]*(n-2)+s[n-1]<0)cout<<"INF\n"; // 无解情况
    else{
      for(int i=0;i<n;i++)
        c=max(c,a[0]*(s[n-1]-s[i])-a[i]*(a[0]*(n-i-1)+s[n-1]-s[i])+a[n-1]*(s[i]-s[0])-a[i]*(a[n-1]*i+s[i]-s[0]));
        // 带入表达式计算
      cout<<c<<endl;
    }
  }
  return 0;
}