Photoshoot for Gorillas

题面翻译

题目描述

你非常喜欢大猩猩，于是你决定为它们组织一次拍摄活动。大猩猩生活在丛林中，丛林被表示为一个有 $n$ 行 $m$ 列的网格，有 $w$ 个大猩猩同意参与拍摄，第 $i$ 个大猩猩的身高为 $a_{i}$ .你希望将所有大猩猩放置在网格的单元格中，并且确保每个单元格中最多只有一只大猩猩。

每种方案的壮观程度等于网格中所有以 $k$ 为边长的子正方形的壮观程度的总和。

子正方形的壮观程度等于其中所有大猩猩的身高的总和。

从所有合适的方案中选出最壮观的方案。

输入格式

第一行包含一个整数 $t$ ，表示共有 $t$ 组测试样例。

测试用例的描述如下。

第一行包含三个整数 $n ， m ， k$ ，表示网格的尺寸和子正方形的边长。

第二行包含一个整数 $w$ ，表示大猩猩的数量。

第三行包含 $w$ 个整数 $a_{1} ， a_{2} ， . . . ， a_{w}$ ，表示每个大猩猩的身高。

保证所有测试样例中 $n \cdot m$ 的总和不超过 $2 \cdot 10^{5}$ ， $w$ 的总和也不超过 $2 \cdot 10^{5}$ 。

输出格式

对于每个测试用例，输出一个整数表示最壮观的方案的壮观程度。

样例 #1

样例输入 #1

5
3 4 2
9
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 1
2
5 7
20 15 7
9
4 1 4 5 6 1 1000000000 898 777
1984 1 1
4
5 4 1499 2004
9 5 5
6
6 7 14 16 16 6

样例输出 #1

21
12
49000083104
3512
319

提示

在第一组输入数据的第一个测试用例里，要对如下子正方形的壮观程度进行求和：

黄色所对应的是这些子正方形，而绿色对应的是网格中其余的方格。图片展示的是大猩猩的最优排列方式。该排列方式的壮观程度为：

4 + 4 + 3 + 3 + 4 + 3 = 21 。

题解

本题中，壮观程度可以表示为 $\sum_{i = 1}^{n} X_{重叠次数} \times H_{猩猩身高}$ 其中每个方格次数和身高大的放在一起相乘，小的放一起相乘。

为得到每个放个的重叠次数，可以将子方格在网格中遍历并利用二维差分来将其遍历的方格的次数增加。

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;
using ll = long long;

void solve();
int main()
{
	// 提高输入输出效率
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(nullptr);
	
	int _;cin >> _;
	while(_--)
	solve();
	return 0;
}

void solve()
{
	int n, m, k, w;
	ll ans = 0;

	// 输入网格的维度，子正方形的边长，大猩猩的数量
	cin >> n >> m >> k >> w;

	// 输入并将身高进行降序排序
	vector<ll> a(w);
	for(int i =0; i<w; i++)cin>>a[i];
	sort(a.begin(), a.end(), greater<>());


	// 使用差分数组方法记录 k * k 矩形区域的重叠次数
	vector<vector<int>> p(n + 2, vector<int>(m + 2));

	for (int i = 1; i + k - 1 <= n; i++) {
		for (int j = 1; j + k - 1 <= m; j++) {
			p[i][j] ++, p[i][j + k]--;
			p[i + k][j] --, p[i + k][j + k]++;
		}
	}

	// 利用前缀和计算每个位置的重叠次数，并存入d
	vector<int> d;

	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = 1; j <= m; j++) {
			d.push_back(p[i][j] +=p[i - 1][j] + p[i][j - 1] - p[i - 1][j - 1]);
		}
	}

	//将d降序排序
	sort(d.begin(),d.end(), greater<>());

	//  累加 重叠次数*身高
	for (int i = 0; i<w; i++) ans += a[i] * d[i];
	cout << ans << endl;
}