银河英雄传说

[NOI2002] 银河英雄传说

题目背景

公元 $5801$ 年，地球居民迁至金牛座 $\alpha$ 第二行星，在那里发表银河联邦创立宣言，同年改元为宇宙历元年，并开始向银河系深处拓展。

宇宙历 $799$ 年，银河系的两大军事集团在巴米利恩星域爆发战争。泰山压顶集团派宇宙舰队司令莱因哈特率领十万余艘战舰出征，气吞山河集团点名将杨威利组织麾下三万艘战舰迎敌。

题目描述

杨威利擅长排兵布阵，巧妙运用各种战术屡次以少胜多，难免恣生骄气。在这次决战中，他将巴米利恩星域战场划分成 $30000$ 列，每列依次编号为 $1,2,\dots ,30000$。之后，他把自己的战舰也依次编号为 $1,2,\dots ,30000$，让第 $i$ 号战舰处于第 $i$ 列，形成“一字长蛇阵”，诱敌深入。这是初始阵形。当进犯之敌到达时，杨威利会多次发布合并指令，将大部分战舰集中在某几列上，实施密集攻击。合并指令为 M i j，含义为第 $i$ 号战舰所在的整个战舰队列，作为一个整体（头在前尾在后）接至第 $j$ 号战舰所在的战舰队列的尾部。显然战舰队列是由处于同一列的一个或多个战舰组成的。合并指令的执行结果会使队列增大。

然而，老谋深算的莱因哈特早已在战略上取得了主动。在交战中，他可以通过庞大的情报网络随时监听杨威利的舰队调动指令。

在杨威利发布指令调动舰队的同时，莱因哈特为了及时了解当前杨威利的战舰分布情况，也会发出一些询问指令：C i j。该指令意思是，询问电脑，杨威利的第 $i$ 号战舰与第 $j$ 号战舰当前是否在同一列中，如果在同一列中，那么它们之间布置有多少战舰。

作为一个资深的高级程序设计员，你被要求编写程序分析杨威利的指令，以及回答莱因哈特的询问。

输入格式

第一行有一个整数 $T$（$1\le T\le 5\times {10}^5$），表示总共有 $T$ 条指令。

以下有 $T$ 行，每行有一条指令。指令有两种格式：

1. M i j：$i$ 和 $j$ 是两个整数（$1\le i,j\le 30000$），表示指令涉及的战舰编号。该指令是莱因哈特窃听到的杨威利发布的舰队调动指令，并且保证第 $i$ 号战舰与第 $j$ 号战舰不在同一列。

2. C i j：$i$ 和 $j$ 是两个整数（$1\le i,j\le 30000$），表示指令涉及的战舰编号。该指令是莱因哈特发布的询问指令。

输出格式

依次对输入的每一条指令进行分析和处理：

• 如果是杨威利发布的舰队调动指令，则表示舰队排列发生了变化，你的程序要注意到这一点，但是不要输出任何信息。
• 如果是莱因哈特发布的询问指令，你的程序要输出一行，仅包含一个整数，表示在同一列上，第 $i$ 号战舰与第 $j$ 号战舰之间布置的战舰数目。如果第 $i$ 号战舰与第 $j$ 号战舰当前不在同一列上，则输出 $-1$。

样例 #1

样例输入 #1

4
M 2 3
C 1 2
M 2 4
C 4 2

样例输出 #1

-1
1

提示

样例解释

战舰位置图：表格中阿拉伯数字表示战舰编号。

题目中没有强制 $i\ne j$，但是实测数据中不存在 $i=j$ 的情况。

---

---

---

---

---

题解

本题目的是计算战舰的距离，我们可以设定数组$sz[]$作为集合的大小，$dist[]$作为距离（距离初始为0）。
然后在合并（函数merge）和寻找根节点（函数root）时，分部计算dist。
merge处合并时，原 根节点 在合并后改变距离，其余部分不变
root处是计算此次查找时，查找数据与原根节点间各个元素改变的距离

具体计算过程如下

对于战舰a，b，c（状态1），merge处如果合并两次，
由于只有原根节点 在合并后改变距离
merge(a,b)后 a距离变为b的大小(1) ，形成a-->b的舰队，接着merge(b,c)后b距离变为c的大小(1)，a不变，形成a-->b-->c的舰队(状态2)
这样，合并后，舰队除根节点的距离为0，其余均为1

对于两个舰队的合并，合并前如图

合并后，c的距离变为舰队2的大小，其余不变

mermaidmermaid接着，在root处$dist[x]+=dist[pre[x]]$沿用上图就一目了然了，
对于x=c，原式即为$dist[c]+=dist[f]$结果为$dist[c]=3+0=3$
对于x=b，同理$dist[b]+=dist[c]$(这里$dist[c]$已更新为3)即为$dist[b]=3+1=4$
对于x=a，同b，$dist[a]=4+1=5$ (4是$dist[b]$)

最终状态如图

代码

#include <iostream>
using namespace std;
// n操作数量，x，y编号，pre每个战舰父节点，dist到根节点距离，sz每个(根节点代表的)集合的大小
int n, x, y, pre[30010], dist[30010],sz[30010];
char ins;//指令

void merge(int x, int y);
void search(int x, int y);

int main()
{
	// 初始化预处理（父节点pre，距离dist）
	for (int i = 1; i <= 30000; i++) pre[i] = i,sz[i] = 1;

	cin >> n;
	while (n--)
	{
		cin >> ins >> x >> y;

		if (ins == 'M') {merge(x, y);}//合并
		else {search(x, y);}//查询
	}
	return 0;
}

int root(int x) {
	if(pre[x] == x) return x;// 如果x是根节点，返回x

	// 否则，递归查找x的根节点，在回溯时更新数据
	int rx = root(pre[x]);// 找根
	
		// 更新dist，在递归中pre[pre[pre[...]]]自内向外层层更新,计算dist[x]
	dist[x] += dist[pre[x]];// 更新dist

	pre[x] = rx;// 更新父节点，压缩路径

	return rx;
}

void merge(int x, int y) {

	int rx = root(x),ry = root(y);
	if (rx == ry) return;// 若在同一列，则不用合并

	pre[rx] = ry;// 合并，rx的父节点指向ry

	dist[rx] = sz[ry];// 更新rx的dist

	sz[ry] += sz[rx];// 更新ry的集合大小
}

void search(int x, int y) {

	// 若是同一战舰，直接输出0
	if (x == y) {cout << 0 << endl;return;}

	// 如果在同一列，计算距离
	if (root(x) == root(y))
		cout << abs(dist[x] - dist[y])-1 << endl;

	// 如果不在同一列，输出-1
	else cout << -1 << endl;
}