绿豆蛙的归宿

Acwing 217. 绿豆蛙的归宿

给出一个有向无环的连通图，起点为 1，终点为 N，每条边都有一个长度。

数据保证从起点出发能够到达图中所有的点，图中所有的点也都能够到达终点。

绿豆蛙从起点出发，走向终点。

到达每一个顶点时，如果有 K 条离开该点的道路，绿豆蛙可以选择任意一条道路离开该点，并且走向每条路的概率为 1/K。

现在绿豆蛙想知道，从起点走到终点所经过的路径总长度的期望是多少？

\(f[i]\):从 \(i\) 走到 \(n\) 路程的数学期望.

由数学期望公式 \(E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)\) 知 : 期望可以分开求.

对于 \(i\)​ 连到 \(j\)​ 的一边, 设 \(i\)​ 的出度为 \(k\)​, 路程 \(w\)​, \(X,Y\)​ 分别表示从 \(i\)​ 走到 \(n\)​ 和从 \(j\)​ 走到 \(n\)​ 这两个事件, 有 \(E(X)=\frac{1}{k}\sum(E(Y)+w)\).

即 \(f[i]=\frac{1}{k}\sum(f[j]+w)\).

code :

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define IO ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0); cout.tie(0);
inline int lowbit(int x) { return x & (-x); }
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define pb push_back
#define PII pair<int, int>
#define VIT vector<int>
#define x first
#define y second
#define inf 0x3f3f3f3f
const int N = 1e5 + 10, M = 2 * N;
int h[N], e[M], w[M], ne[M], idx;
int cnt[N];
double f[N];

void add(int a, int b, int c) {
    ne[idx] = h[a], e[idx] = b, w[idx] = c, h[a] = idx++;
}

double dfs(int u) {
    if (f[u] != 0) return f[u];
    for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
        int j = e[i];
        f[u] += 1.0 / cnt[u] * (w[i] + dfs(j));
    }
    return f[u]; 
}

int main() {
    //freopen("in.txt", "r", stdin);
    IO;
    memset(h, -1, sizeof h);
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    while (m--) {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        add(a, b, c);
        cnt[a]++;
    }
    printf("%.2lf\n", dfs(1));
    return 0;
}