隔板法
对于 :
\[x_1+x_2+x_3+...+x_k=n
\]
且 \(x_i>=1\)
\(ans=C_{n-1}^{k-1}\).
若是不等式, 常见的有以下的转换 :
\[\begin{aligned}
&0\le a_1\le a_2 \le a_3 \le ...\le a_k \le n \\
令\ x_1=a_1,&\ \ x_i=a_i-a_{i-1} \\
\Longrightarrow &\ 0\le a_k=x_1+x_2+x_3+...+x_k\le n \\
再令\ y_i&=x_i+1 \\
\Longrightarrow &\ y_1+y_2+y_3+...+y+k\le n+k
\end{aligned}
\]
\(ans = C_{n+k}^{k}\).
这里让 \(y_i=x_i+1\) 就保证了 \(y_i>=1\). 这也使用隔板法的条件.
因为是不等式, 所以最后一个位置是可选择的, 倘若是等式, 最后一个位置不可选择.
看一道题 : 序列统计
