求组合数

求组合数有以下四种情形 :

1. 由公式 \(C_n^m=C_{n-1}^{n-1}+C_{n-1}^n\) 递推. 时间复杂度 \(O(nm)\). 一般 \(N\le 2000\).
2. 预处理出阶乘, 再由 \(C_n^m=\frac{m!}{b!(a-b)!}\) 直接计算. 时间复杂度 \(O(NlogN)\). 一般 \(N\le 1e5\).
3. 卢卡斯定理 : \(C_a^b=C_{a\%p}^{b\%p}C_{a/p}^{b/p}\). 时间复杂度 \(O(Plog_PN)\). 一般 \(a,b \le 1e18, p \le 1e5\).
4. 高精度不取模, 将 \(C_n^m=\frac{m!}{b!(a-b)!}\) 的质数以及对应的次数求出. 将其转化为 \(p_1^{a_1}*p_2^{a_2}*p_3^{a_3}...p_k^{a_k}\) 的形式, 然后高精度乘法求.

下面是四种情形的代码

递推 :

void init()  {
    for (int i = 0; i < N; i++)
        for (int j = 0; j <= i; j++) {
            if (!j)
                c[i][j] = 1;
            else
                c[i][j] = (c[i - 1][j - 1] + c[i - 1][j]) % mod;
        }   
}

预处理阶乘 :

void init() {
    fact[0] = infact[0] = 1;
    for (int i = 1; i < N; ++i) fact[i] = (ll)fact[i - 1] * i % mod;
    for (int i = 1; i < N; ++i) infact[i] = infact[i - 1] * qmi(i, mod - 2) % mod; // 求逆元
}

int C(int a, int b) {
    if (a < b) return 0;
    return (ll)fact[a] * infact[b] % mod * infact[a - b] % mod;
}

卢卡斯定理 :

int C(int a, int b, int p) {
    if (b > a) return 0;
    int res = 1;
    for (int i = 1, j = a; i <= b; i++, j--) {
        res = (ll)res * j % p;
        res = (ll)res * qmi(i, p - 2, p) % p;
    }
    return res;
}
/*
int C(int a, int b, int p)
{
    if (a < b) return 0;

    int down = 1, up = 1;
    for (int i = a, j = 1; j <= b; i --, j ++ )
    {
        up = (ll)up * i % p;
        down = (ll)down * j % p;
    }

    return (ll)up * qmi(down, p - 2, p) % p;
}
*/

int lucas(ll a, ll b, int p) {
    if (a < p && b < p) return C(a, b, p);
    return (ll)C(a % p, b % p, p) * lucas(a / p, b / p, p) % p;
}

高精度 :

void init(int n) {
    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        if (!st[i]) pri[cnt++] = i;
        for (int j = 0; pri[j] * i <= n; ++j) {
            st[pri[j] * i] = true;
            if (i % pri[j] == 0) break;
        }
    }
}

int get(int n, int p) {
    int res = 0;
    while (n) res += n / p, n /= p;
    return res;
}

vector<int> mul(vector<int> a, int b) {
    int t = 0;
    vector<int> c;
    for (int i = 0; i < a.size(); ++i) {
        t += a[i] * b;
        c.pb(t % 10);
        t /= 10;
    }
    while (t) c.pb(t % 10), t /= 10;
    return c;
}

int main() {
    //freopen("in.txt", "r", stdin);
    IO;
    int a, b;
    cin >> a >> b;
    init(a);        
    for (int i = 0; i < cnt; ++i) 
        sum[i] = get(a, pri[i]) - get(b, pri[i]) - get(a - b, pri[i]);
    vector<int> v;
    v.pb(1);
    for (int i = 0; i < cnt; ++i)
        for (int j = 0; j < sum[i]; ++j)
            v = mul(v, pri[i]);
    for (int i = v.size() - 1; i >= 0; --i) cout << v[i];
    cout << '\n';
    return 0;
}