欧拉函数与求逆元

\(\phi(n)=n(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})(1-\frac{1}{p_3})...\)

\(\phi(n):1到n-1中与n互质的数的个数.\)

这个公式是由容斥原理得到的.

求法 :

1.

直接求.

int phi(int x) {                                                                             
    int res = x;                                                                             
    for (int i = 2; i <= x / i; i++)                                                         
        if (x % i == 0) {                                                                    
            res = res / i * (i - 1);                                                         
            while (x % i == 0) x /= i;                                                       
        }                                                                                    
    if (x > 1) res = res / x * (x - 1);                                                      
    return res;                                                                              
}            

2.

线性筛法求欧拉函数.

void init() {
    phi[1] = 1;
    for (int i = 2; i < N; ++i) {
        if (!st[i]) {
            pri[cnt++] = i;
            phi[i] = i - 1;
        }
        for (int j = 0; pri[j] * i < N; ++j) {
            st[pri[j] * i] = true;
            if (i % pri[j] == 0) {
                phi[pri[j] * i] = phi[i] * pri[j];
                break;
            }
            phi[pri[j] * i] = phi[i] * (pri[j] - 1);
        }
    }
}

\(\phi(n)\)的作用和求逆元.

欧拉定理 : 若\(a,n\)互质,则 \(a^{\phi(n)}\equiv 1(mod\ n).\)

费马定理 : \(a,n\)互质且\(n\)为质数 : \(a^{n-1}\equiv 1(mod\ n).\)

\(a的逆元:a^{n-2}\)

逆元用快速幂来求.