区间最大公约数

区间最大公约数

gcd + 线段树

本题是可以用单点修改实现的 :

如果我们要求区间的\(gcd:gcd(a,b,c,d).\)
根据gcd的推论:\(gcd(a,b)=gcd(a,b-a)\)在多项中的推广:
\(gcd(a,b,c,d)=gcd(a,b-a,c-b,d-c)\)
当我们需要修改一个区间\((a,b,c)->(a+x,b+x,c+x):\)
\(gcd(a+x,b+x,c+x,d)=gcd(a+x,b-a,c-a).\)
因此操作一个区间只需要保证线段树中存的是差分,然后修改第一个点就行了.
特别注意为了不让本次操作对后续造成影响:还需要\(modify(1,r+1,x).\)

再考虑树中节点维护的变量 : sum 和 gcd

为什么要维护 sum ?

为了在修改后能正确得到第一个数的真实值.

所以答案其实是 : \(gcd(left.sum,right.d)\)

\(left=query(1,1,l)\)

\(right=query(1,l+1,r)\)

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define IO ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0); cout.tie(0);
inline int lowbit(int x) { return x & (-x); }
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define pb push_back
#define PII pair<int, int>
#define VIT vector<int>
#define x first
#define y second
#define inf 0x3f3f3f3f
const int N = 5e5 + 10; 
ll a[N], b[N];
int n, m;

struct Node {
    int l, r;
    ll sum, d;
}tr[N * 4];
 
ll gcd(ll a, ll b) {
    return b ? gcd(b, a % b) : a;
}

void pushup(Node &t, Node &l, Node &r) {
    t.sum = l.sum + r.sum;
    t.d = gcd(l.d, r.d);
}

void pushup(int u) {
    pushup(tr[u], tr[u << 1], tr[u << 1 | 1]);
}

void build(int u, int l, int r) {
    if (l == r) tr[u] = {l, r, b[l], b[l]};
    else {
        tr[u] = {l, r};
        int mid = l + r >> 1;
        build(u << 1, l, mid);
        build(u << 1 | 1, mid + 1, r);
        pushup(u);
    }
}

void modify(int u, int x, ll v) {
    if (tr[u].l == x && tr[u].r == x) {
        ll k = tr[u].sum + v;
        tr[u] = {x, x, k, k};
    } else {
        int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;
        if (x <= mid) modify(u << 1, x, v);
        else modify(u << 1 | 1, x, v);
        pushup(u);
    }
}

Node query(int u, int l, int r) {
    if (tr[u].l >= l && tr[u].r <= r) return tr[u];
    int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;
    if (l > mid) return query(u << 1 | 1, l, r);
    else if (r <= mid) return query(u << 1, l, r);
    else {
        Node left = query(u << 1, l, r);
        Node right = query(u << 1 | 1, l, r);
        Node res;
        pushup(res, left, right);
        return res;
    }
}

int main() {
    //freopen("in.txt", "r", stdin);
    IO;
    cin >> n >> m; 
    for (int i = 1; i <= n; ++i) cin >> a[i];
    for (int i = 1; i <= n; ++i) b[i] = a[i] - a[i - 1];
    build(1, 1, n);     
    while (m--) {
        char op[2];
        int l, r;
        cin >> op >> l >> r;
        if (op[0] == 'C') {
            ll d; cin >> d;
            modify(1, l, d);
            if (r + 1 <= n) modify(1, r + 1, -d);
        } else {
            Node left = query(1, 1, l);
            Node right = {0, 0, 0, 0};
            if (l + 1 <= r) right = query(1, l + 1, r);
            cout << abs(gcd(left.sum, right.d)) << '\n';
        }
    }
    return 0;
}