平面图网络流

首先推荐一个论文：周冬2008年集训队论文《浅析最大最小定理在信息学竞赛中的应用》

论文说的很详细，然后再写写我的总结吧。

首先先说说什么是平面图，或者说平面图的性质：

  1. (欧拉公式)如果一个连通的平面图有n个点，m条边和f个面，那么f = m - n + 2。
  2. 每个平面图G都有一个与其对偶的平面图G*。
    • G*中的每个点对应G中的一个面
    • 对于G中的每条边e，e属于俩个面f1，f2，加入边(f1*, f2*)，e只属于一个面，加入回边(f*, f*)

然后说说平面图G与其对偶图G*的关系：

  1.  G的面数等于G*的点数，G*的点数等于G到面数，G与G*边数相等。
  2.  G*中的环与G中的割一一对应。如下图：

          

s-t平面图最大流的快速求法：

连接s-t得到一个附加面

求该图的对偶图G*，令附加面对应的点为s*，无界面对应的点为t*。

删去s*和t*间的边。这时一条s*到t*的一条路径就对应了s-t的一条割。更进一步，如果我们令每条边的长度等于它的容量，那么最小割的容量就等于最短路径的长度。

相关题目：

  •  HDU3870 Catch the Theves：题意描述：一群贼，要从城市A（1,1）到城市B(n,n)作案，警察需要在贼到达B之前将其逮捕，所以要安排警力去守住某些路，然后需要给警察付费，每段路的需要付的费可以不同，然后给出一个矩阵表示g[i][j]表示从城市（i,j）到（i+1,j)和（i,j+1）需要付给警察的费用，题目求最少的钱能够使所有的贼被抓？裸的平面图最大流。。。做法见上面描述。我傻逼最短路加边的时候加成单项的了。。wa了好多次。代码君：
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     1 #include <cstdio>
 2 #include <cstring>
 3 #include <algorithm>
 4 #include <queue>
 5 #include <vector>
 6 #include <iostream>
 7 using namespace std;
 8 
 9 const int maxn = 405 * 405;
10 const int maxm = 4 * maxn;
11 const int inf = 0x3f3f3f3f;
12 int test, n, mp[444][444];
13 
14 struct Dijkstra {
15     typedef pair<long long, int> T;
16     vector<T> E[maxn];
17     priority_queue<T, vector<T>, greater<T> > q;
18     int d[maxn], cnt;
19 
20     void clearEdge() {
21         for (int i = 0; i < maxn; i++)
22             E[i].clear();
23     }
24 
25     void addEdge(int u, int v, int w) {
26         E[u].push_back(T(w, v));
27         E[v].push_back(T(w, u));
28     }
29 
30     void dijkstra(int s) {
31         for (int i = 0; i < maxn; i++)
32             d[i] = inf;
33         cnt = 0;
34         while (!q.empty()) q.pop();
35         int u, v, du, dv;
36         d[s] = 0; q.push(T(0, s));
37         while (!q.empty()) {
38             u = q.top().second;
39             du = q.top().first;
40             q.pop();
41             if (d[u] != du) continue;
42             for (vector<T>::iterator it = E[u].begin(); it != E[u].end(); it++) {
43                 v = it->second; dv = du + it->first;
44                 if (d[v] > dv) {
45                     d[v] = dv; q.push(T(dv, v));
46                 }
47             }
48         }
49     }
50 };
51 Dijkstra g;
52         
53 int main() {
54     scanf("%d", &test);
55     for (int cas = 1; cas <= test; cas++) {
56         scanf("%d", &n); g.clearEdge();
57         for (int i = 1; i <= n; i++)
58             for (int j = 1; j <= n; j++)
59                 scanf("%d", &mp[i][j]);
60         int s = 0, t = (n-1) * (n-1) + 1;
61         for (int i = 1; i < n; i++) {
62             //printf("%d %d %lld\n", s, i, mp[1][i]);
63             g.addEdge(s, i, mp[1][i]);
64             //printf("%d %d %lld\n", s, (n-1)*i, mp[i][n]);
65             g.addEdge(s, (n-1)*i, mp[i][n]);
66             //printf("%d %d %lld\n", 1+(n-1)*(i-1), t, mp[i][1]);
67             g.addEdge(1+(n-1)*(i-1), t, mp[i][1]);
68             //printf("%d %d %lld\n", (n-1)*(n-2)+i, t, mp[n][i]);
69             g.addEdge((n-1)*(n-2)+i, t, mp[n][i]);
70         }
71         for (int i = 1; i < n; i++) {
72             for (int j = 1; j < n; j++) {
73                 if (i != n - 1) {
74                     //printf("%d %d %lld\n", (i-1)*(n-1)+j, i*(n-1)+j, mp[i+1][j]);
75                     g.addEdge((i-1)*(n-1)+j, i*(n-1)+j, mp[i+1][j]);
76                 }
77                 if (j != n - 1) {
78                     //printf("%d %d %lld\n", (i-1)*(n-1)+j, (i-1)*(n-1)+j+1, mp[i][j+1]);
79                     g.addEdge((i-1)*(n-1)+j, (i-1)*(n-1)+j+1, mp[i][j+1]);
80                 }
81             }
82         }
83         g.dijkstra(s);
84         printf("%d\n", g.d[t]);
85     }
86     return 0;
87 }

     

  • HDU4280 坑。。。

  • POJ2922 坑。。。

  • BZOJ1001 [Beijing2006]狼抓兔子：中文题，就不描述题意了。。裸的平面图网络流。。。做法如上。。。不过请允许我吐槽一下出题人的节操。。尼玛 n 和 m 竟然可以为1。。所以这种情况要特判一下。嗯~又wa了好多次。。。代码君：

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  • BZOJ2007 

 

posted @ 2013-04-19 20:00  SDU_Phonism  阅读(458)  评论(0)  编辑  收藏  举报