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前言
- 莫比乌斯反演还挺麻烦的，性质与结论比较多。为了巩固自己，于是写下此学习小记。
莫比乌斯函数
定义
莫比乌斯函数$\mu(n)$定义如下:
设$n=p_1^{q_1}\cdot p_2^{q_2}\cdots p_k^{q_k}$,其实$p$为素数，则有
\mu(n)=\begin{cases}
1 & \text{$n=1$} \\[2ex]
(-1)^k & \text{$p_1p_2\cdots p_k,\forall p_i\not=p_j$}\\[2ex]
0 & \text{other}
\end{cases}
性质
性质一
莫比乌斯函数是积性函数
\mu(ab)=\mu(a) \cdot \mu(a) \ , \ a\perp b
可以考虑拆分$a,b,ab$的质因数，显然得证
应用
根据这个性质，我们可以在$O(n)$的时间内用线筛求出$[1,n]$的莫比乌斯函数值。
质数的值为-1。一个数为0，当且仅当这个数这个数被一个素数筛了两次。剩余的情况，可以根据$\mu(i)=-\mu(i)$来更新。
每个数最多被一个最小的素数筛去，故时间复杂度为$O(n)$
