2017.07.09【NOIP提高组】模拟赛B组
Summary
今天放假,比赛于是就没有打了,但是看了一下题,发现都挺简单了,不想码~╮(╯▽╰)╭懒虫一条。最后一题居然做过原题。这次比赛让我对并查集“刮目相看”,对贪心感到“前途无量”,觉得树形DP很有趣,但也很难,但也都打出来了。要多做关于树形DP的题目,来充实自己。
Problem
T1 【GDOI2003】购物
题目大意
给你很多种物品,你购买每个物品就可以剩下ai钱,但是编号x和y号物品,买了其一,就不能买其二,且不会出现一个环的情况。问最多能节省多少钱。
想法
这道题好像做过一道类似的题目,是“没有上司的舞会”,是我第一道树形DP的题目
方法有两种,两种都可以说一下:
(1)树形DP
分为两种情况,一种是没有限制的点,一种是有限制的点
①有限制的点
对于这一类点,我们可以把他们一串一串的连成一棵树,使之成为森林,然后,我们对于每一棵树进行树形DP,看看每一棵树,最多可以节省多少钱。
设f[i,0/1]表示选不选编号为i的点
如果选,那么它的儿子就不可以选,也可以说它的父亲不可以选,但是,我们在判断的父亲选时,那它就不能选了,所以我们只需要判断它的儿子不能选即可。
f[i,1]:=∑f[j,0](j为i的儿子),它的儿子只能不选,那么就看看不选时,每个儿子的最大值,求和即可
如果不选,那么它的儿子可以选或者不选,我们就判断一下它的儿子选还是不选,分两种情况讨论
f[i,0]:=∑max(f[j,0],f[j,1])(j为i的儿子)
套上树形DP千年不变的递归模型,求解就行了
②无限制的点
这类点直接加上他可以节省的钱数就可以了
(2)二分图+网络流
听大神们说,树形DP打多了,试试新口味
我也想打,但是,树(网)形(络)D(流)P(不)没(会)打(打)腻(啊)
T2 blockenemy
题目大意
给一个树,有些节点上有敌人,树边存在权值,先要删除若干条边,使得敌人各不相连的最小代价是多少?
想法
这道题是一道很好的树形DP练手题目,同时也可以用并查集+贪心来做,现在讲一下两种做法
(1)树形DP
设f[x]表示以x为根,它子树的敌人都不可以互相联络,且无法到达点x的最小价值
设g[x]表示以x为根,它子树的敌人都不可以互相联络,但是其中一个敌人可以到达x这个点的最小价值
这个状态设得异常巧妙,在我看过这道题的所有题解,这是最好理解的
其实,解题的关键,就是状态和转移上面了!
我们考虑两种情况,如果当前x上有敌人,或者没有敌人,应该怎么做。
①有敌人
如果有敌人,那么f[x]就赋值为无穷大,因为他根本不可以“无法到达点x”
这时,我们考虑g[x]给之后的转移用,到底g[x]应该是多少
显然是g[x]=∑min(f[y],g[y]+dis[x,y]),(y是x的儿子)为什么呢?
因为x这个点有敌人了,那么g[x]本身就符合条件了
因为f[y]的时候,没有点可以互相联络,如果多添一个点x,那么他就是g[x]的条件了,所以它是取最小值的两个数之一
因为g[y]已经符合条件了,如果多添一个点x,那么他就不符合g[x]的条件了,因为他有2个点可以到达x,所以我们需要x~y之间连一条边,保证只有1个点可以到达x
②无敌人
f[x]=∑min(f[y],g[y]+dis[x,y])(y是x的儿子)为什么呢?
跟上面g数组的转移差不多
f[y]是符合条件的,所以多添一个点还是fx的条件,所以是取最小值的两个数之一、
g[y]是不符合条件的,他有1个点可以到达x,所以x~y之间连一条边,保证没有点可以到达x
可是,这时,g[x]怎么做的?怎么转移是本题解题的关键所在
g[x]一定是在f[x]的基础上转移的!使得它的某个儿子不可以到达
其实,就是把f[x]中,一个花费最大的一次删除敌人到x的边的价值,删掉
重点
上面说了f[x]=min(f[y],g[y]+dis[x,y])(其中一个),我们把可以到达x这个点,变成不可以到达这个点,然后就有两种情况
一种就是g[y]+dis,如下图
试想一下,原本y点为根的子树是可以到达y的,但是删去了x~y之间的边就不可以到达了,也就是说,是从未知点~x~y的,是这样的顺序
还有一种情况就是f[y],同上图
就是原本的
我们由min(g[y]+dis,f[y])变成g[y]就是上面所说
f[x]就会在f[x]的基础上减去min(g[y]+ w, f[y]) – g[y],那么这个值越大,f[x]就会越小。
f[x]-g[y]就是那个让原本可以到y的,变成不能到y的那条边,f[x]-这条边的最大值,就是g[x]
显然是取最大值,这样g[x]就变得很小
我发个连续的段子,结合图片和f,g数组的定义看,一定可以看得懂
“G[x]的转移有那么一丢丢难想。G[x]一定实在f[x]的基础上,使得某个儿子从不能到达x,变成能到达x,即儿子y对该状态的贡献由min(g[y] + w, f[y])变为g[x].如果这样的话,f[x]就会在f[x]的基础上减去min(g[y]+ w, f[y]) – g[y],那么这个值越大,f[x]就会越小。”
(2)贪心+并查集
思想跟最小生成树一样,简直一模一样
可以通过O(n^2)判断加多一条边是否可以符合题目条件
边从大到小选
如果n大一点,上面的判断可以改成O(m)的,m是边数,根据深度来搜索每一个点。
T3 treecut
题目大意
给一棵无根树,删掉某一个点,使得每个连通块节点个数不大于原来节点个数的一半,求这些点
想法
我们试着让每一个点都当作根做一遍,用快速的方法来求每个连通块的个数即可,十分简单。