三、浅层神经网络

1、神经网络概览

  什么是神经网络?如下图:

  神经网络的结构与逻辑回归类似,只是神经网络的层数比逻辑回归多一层,多出来的中间那层称为隐藏层或中间层。从计算上来看,神经网络的正向传播和反向传播比logistic回归多了一次重复的计算。引入新的标签:方括号上标[i]表示当前所处的层数;圆括号上标(i)表示第i个样本。

2、神经网络表示

  下面我们讲解只有一个隐藏层的神经网络,这是一张神经网络结构图:

  在一个神经网络中,当你使用监督学习训练它时,训练集包含了输入x,还有目标输出y。“隐藏层”的含义是在训练集中这些中间节点的真实数值我们是不知道的,看不到它们的数值。

  现在把隐藏层输出记为a^[1],上标从0开始。用下标表示第几个神经元,注意下标从1开始。例如a^[1]_1表示隐藏层第1个神经元(节点)。在python中,隐藏层有4个神经元就可以写成下面矩阵的形式:

  

  当我们在计算网络的层数时,不算输入层。关于隐藏层对应的权重W^[i]和常数项b^[i]维度问题,总结:第i层的权重W^[i]维度的行等于i层神经元的个数,列等于i-1层神经元的个数;第i层常数项b^[i]的行等于第i层神经元的个数,列始终为1。

3、计算神经网络的输出

  两层神经网络可以看成是逻辑回归再重复计算一次。如下图所示,逻辑回归的正向计算可以分解成计算z和a的两部分:

  下面的圆圈代表了回归计算的两个步骤,神经网络重复计算这些步骤很多次:

  对于两层神经网络,从输入层到隐藏层对应一次逻辑回归运算;从隐藏层到输出层对应一次逻辑回归运算。每层计算时,要注意对应的上标和下标,一般我们记上标方括号表示layer,下标表示第几个神经元。例如a^[l]_i表示第l层的第i个神经元。注意,i从1开始,l从0开始。

  下面,我们将从输入层到输出层的计算公式列出来:(共4个隐藏单元)
 
 
  然后,从隐藏层到输出层的计算公式为: 

  上述每个节点的计算都对应着一次逻辑运算的过程,分别由计算z和a两部分组成。

4、激活函数

  在隐藏层和输出层可以选择激活函数,目前为止我们用的是sigma激活函数,但有时其他函数效果要好的多。我们看一些可供选择的函数。不同的激活函数有各自的优点。

sigmoid函数-(0,1)

tanh函数(双曲正切函数)-(-1,1)

  

    • 此激活函数的平均值更接近0,类似数据中心化的效果,使数据平均值接近0,这实际让下一层的学习更方便一点。

    • sigmoid函数和tanh函数都有一个缺点,如果z非常大或非常小时,那么导数的梯度(函数的斜率)可能就很小,接近0,这样会拖慢梯度下降算法。

ReLU函数(修正线性单元)-机器学习最受欢迎的工具

  

    • 在选择激活函数时有一些经验法则,如果你的输出是0和1(二元分类),那么sigmoid函数很适合作为输出层的激活函数,然后其他所有单元都用ReLU函数,这是今天大多数人都在用的。

    • ReLU的缺点是当z为负时,导数为0,但还有一个版本,带泄露的ReLU。

Leaky ReLU函数(泄露的ReLU)

  

    • 为什么是0.01,可以把它设成学习函数的另一个参数,根据实际效果进行改动

总结:

  1. sigmoid函数除非用于在二元分类的输出层,不然绝对不要用,或者几乎从来不用。

  2. tanh函数几乎在所有场合都更优越。

  3. 最常用的默认激活函数是ReLU,如果你不确定用哪个,你就用这个,或者也可以试试带泄漏的ReLU。

  深度学习的一个特点是在建立神经网络时经常有很多不同的选择,比如隐藏单元数、激活函数,还有如何初始化权重。当不确定哪种激活函数最有效时,可以先试试在保留交叉验证数据集上或者开发集上跑,看看哪个参数效果好,就用哪个。

5、随机初始化

  当你训练神经网络时,随机初始化权重很重要,对于logistic回归,可以将群组初始化为零,但如果神经网络的各参数数组全部初始化为0,再使用梯度下降算法,那会完全无效

  一般做法是将W进行随机初始化(b可初始化为零)。python里可以使用如下语句进行W和b的初始化:

W_1 = np.random.randn((2,2))*0.01 #随机初始化
b_1 = np.zero((2,1))
W_2 = np.random.randn((1,2))*0.01
b_2 = 0
# 0.01怎么来的?实际上我们通常把权重矩阵初始化成非常小非常小的随机值,因为如果使用tanh函数或sigmoid激活函数,
# 权重太大是计算出来的值可能落在平缓部分,梯度的斜率非常小,意味着梯度下降法会非常慢,学习过程也会非常慢。

6、课后习题

构建神经网络的一般方法是:

  1. 定义神经网络结构(输入单元的数量,隐藏单元的数量等)。
  2. 初始化模型的参数
  3. 循环
    • 实施前向传播
    • 计算损失
    • 实现向后传播
    • 更新参数(梯度下降)
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from testCases import *
import sklearn
import sklearn.datasets
import sklearn.linear_model
from planar_utils import plot_decision_boundary, sigmoid, load_planar_dataset, load_extra_datasets
np.random.seed(1)
# 加载数据并将其可视化
X, Y = load_planar_dataset()
plt.scatter(X[0, :], X[1, :], c=Y, s=40, cmap=plt.cm.Spectral) # 每个点的颜色将根据 Y 中的值进行着色。
# plt.show()
# 仔细查看数据
shape_X = X.shape
shape_Y = Y.shape
m = Y.shape[1] # 训练集里面的数量
# print('X的维度为:' + str(shape_X))
# print('Y的维度为:' + str(shape_Y))
# print('数据集里面的数据有:' + str(m) + ' 个')
# 在构建完整的神经网络之前,先让我们看看逻辑回归在这个问题上的表现如何,
# 我们可以使用sklearn的内置函数来做到这一点,
clf = sklearn.linear_model.LogisticRegressionCV()
# LogisticRegressionCV 会在不同的正则化参数(C 值)上进行交叉验证,以找到最优的正则化强度。
# 为什么转置?通常在机器学习模型中,数据集形状应为(n_samples, n_features),即每行代表一个样本,每列代表一个特征。
clf.fit(X.T,Y.T)
# 现在将逻辑回归分类器绘制出来
plot_decision_boundary(lambda x: clf.predict(x), X, Y) # 绘制决策边界
plt.title('Logistic Regression') # 图标题
# plt.show()
LR_predictions = clf.predict(X.T)
# print ("逻辑回归的准确性: %d " % float((np.dot(Y, LR_predictions) +
# np.dot(1 - Y,1 - LR_predictions)) / float(Y.size) * 100) +
# "% " + "(正确标记的数据点所占的百分比)")
# 构建神经网络结构
def layer_sizes(X , Y):
"""
参数:
X - 输入数据集,维度为(输入的数量,训练/测试的数量)
Y - 标签,维度为(输出的数量,训练/测试数量)
返回:
n_x - 输入层的数量
n_h - 隐藏层的数量
n_y - 输出层的数量
"""
n_x = X.shape[0]
n_h = 4
n_y = Y.shape[0]
return(n_x, n_h, n_y)
# # 测试Layer_sizes
# print("=========================测试layer_sizes=========================")
# X_asses , Y_asses = layer_sizes_test_case()
# (n_x,n_h,n_y) = layer_sizes(X_asses,Y_asses)
# print("输入层的节点数量为: n_x = " + str(n_x))
# print("隐藏层的节点数量为: n_h = " + str(n_h))
# print("输出层的节点数量为: n_y = " + str(n_y))
# 初始化模型的参数
def initialize_parameters(n_x, n_h, n_y):
"""
参数:
n_x - 输入层节点的数量
n_h - 隐藏层节点的数量
n_y - 输出层节点的数量
返回:
parameters - 包含参数的字典:
W1 - 从输入层到隐藏层的权重矩阵,维度为(n_h,n_x)
b1 - 从输入层到隐藏层的偏向量,维度为(n_h,1)
W2 - 从隐藏层到输出层的权重矩阵,维度为(n_y,n_h)
b2 - 从隐藏层到输出层的偏向量,维度为(n_y,1)
"""
np.random.seed(2) # 指定一个随机种子,确保输出结果一样
W1 = np.random.randn(n_h,n_x) * 0.01
b1 = np.zeros(shape=(n_h, 1))
W2 = np.random.randn(n_y,n_h) * 0.01
b2 = np.zeros(shape=(n_y, 1))
# 使用断言确保数据格式是正确的
assert(W1.shape == ( n_h , n_x ))
assert(b1.shape == ( n_h , 1 ))
assert(W2.shape == ( n_y , n_h ))
assert(b2.shape == ( n_y , 1 ))
parameters = {"W1" : W1,
"b1" : b1,
"W2" : W2,
"b2" : b2 }
return parameters
# # 测试initialize_parameters
# print("=========================测试initialize_parameters=========================")
# n_x , n_h , n_y = initialize_parameters_test_case()
# parameters = initialize_parameters(n_x , n_h , n_y)
# print("W1 = " + str(parameters["W1"]))
# print("b1 = " + str(parameters["b1"]))
# print("W2 = " + str(parameters["W2"]))
# print("b2 = " + str(parameters["b2"]))
# 构建前向传播函数
def forward_propagation(X, parameters):
"""
参数:
X - 维度为(n_x,m)的输入数据。
parameters - 初始化函数(initialize_parameters)的输出
返回:
A2 - 使用sigmoid()函数计算的第二次激活后的数值
cache - 包含“Z1”,“A1”,“Z2”和“A2”的字典类型变量
"""
W1 = parameters["W1"]
b1 = parameters["b1"]
W2 = parameters["W2"]
b2 = parameters["b2"]
# 前向传播计算A2
Z1 = np.dot(W1 , X) + b1
A1 = np.tanh(Z1)
Z2 = np.dot(W2 , A1) + b2
A2 = sigmoid(Z2)
# 使用断言确保我的数据格式是正确的
assert(A2.shape == (1,X.shape[1]))
cache = {"Z1": Z1,
"A1": A1,
"Z2": Z2,
"A2": A2}
return (A2, cache)
# # 测试forward_propagation
# print("=========================测试forward_propagation=========================")
# X_assess, parameters = forward_propagation_test_case()
# A2, cache = forward_propagation(X_assess, parameters)
# print(np.mean(cache["Z1"]), np.mean(cache["A1"]), np.mean(cache["Z2"]), np.mean(cache["A2"]))
# 计算损失
def compute_cost(A2,Y,parameters):
"""
计算方程交叉熵成本,
参数:
A2 - 使用sigmoid()函数计算的第二次激活后的数值
Y - "True"标签向量,维度为(1,数量)
parameters - 一个包含W1,B1,W2和B2的字典类型的变量
返回:
成本 - 交叉熵成本给出方程
"""
m = Y.shape[1]
W1 = parameters["W1"]
W2 = parameters["W2"]
#计算成本
logprobs = logprobs = np.multiply(np.log(A2), Y) + np.multiply((1 - Y), np.log(1 - A2))
cost = - np.sum(logprobs) / m
cost = float(np.squeeze(cost))
assert(isinstance(cost,float))
return cost
# 构建向后传播函数
def backward_propagation(parameters,cache,X,Y):
"""
使用上述说明搭建反向传播函数。
参数:
parameters - 包含我们的参数的一个字典类型的变量。
cache - 包含“Z1”,“A1”,“Z2”和“A2”的字典类型的变量。
X - 输入数据,维度为(2,数量)
Y - “True”标签,维度为(1,数量)
返回:
grads - 包含W和b的导数一个字典类型的变量。
"""
m = X.shape[1]
W1 = parameters["W1"]
W2 = parameters["W2"]
A1 = cache["A1"]
A2 = cache["A2"]
dZ2= A2 - Y
dW2 = (1 / m) * np.dot(dZ2, A1.T)
db2 = (1 / m) * np.sum(dZ2, axis=1, keepdims=True)
dZ1 = np.multiply(np.dot(W2.T, dZ2), 1 - np.power(A1, 2))
dW1 = (1 / m) * np.dot(dZ1, X.T)
db1 = (1 / m) * np.sum(dZ1, axis=1, keepdims=True)
grads = {"dW1": dW1,
"db1": db1,
"dW2": dW2,
"db2": db2 }
return grads
# 更新参数
def update_parameters(parameters,grads,learning_rate=1.2):
"""
使用上面给出的梯度下降更新规则更新参数
参数:
parameters - 包含参数的字典类型的变量。
grads - 包含导数值的字典类型的变量。
learning_rate - 学习速率
返回:
parameters - 包含更新参数的字典类型的变量。
"""
W1,W2 = parameters["W1"],parameters["W2"]
b1,b2 = parameters["b1"],parameters["b2"]
dW1,dW2 = grads["dW1"],grads["dW2"]
db1,db2 = grads["db1"],grads["db2"]
W1 = W1 - learning_rate * dW1
b1 = b1 - learning_rate * db1
W2 = W2 - learning_rate * dW2
b2 = b2 - learning_rate * db2
parameters = {"W1": W1,
"b1": b1,
"W2": W2,
"b2": b2}
return parameters
# 整合模型
def nn_model(X,Y,n_h,num_iterations,print_cost=False):
"""
参数:
X - 数据集,维度为(2,示例数)
Y - 标签,维度为(1,示例数)
n_h - 隐藏层的数量
num_iterations - 梯度下降循环中的迭代次数
print_cost - 如果为True,则每1000次迭代打印一次成本数值
返回:
parameters - 模型学习的参数,它们可以用来进行预测。
"""
np.random.seed(3) #指定随机种子
n_x = layer_sizes(X, Y)[0]
n_y = layer_sizes(X, Y)[2]
parameters = initialize_parameters(n_x,n_h,n_y)
W1 = parameters["W1"]
b1 = parameters["b1"]
W2 = parameters["W2"]
b2 = parameters["b2"]
for i in range(num_iterations):
A2 , cache = forward_propagation(X,parameters)
cost = compute_cost(A2,Y,parameters)
grads = backward_propagation(parameters,cache,X,Y)
parameters = update_parameters(parameters,grads,learning_rate = 0.5)
if print_cost:
if i%1000 == 0:
print("第 ",i," 次循环,成本为:"+str(cost))
return parameters
# 预测
def predict(parameters,X):
"""
使用学习的参数,为X中的每个示例预测一个类
参数:
parameters - 包含参数的字典类型的变量。
X - 输入数据(n_x,m)
返回
predictions - 我们模型预测的向量(红色:0 /蓝色:1)
"""
A2 , cache = forward_propagation(X,parameters)
predictions = np.round(A2)
return predictions
# 正式运行
parameters = nn_model(X, Y, n_h = 4, num_iterations=10000, print_cost=True)
#绘制边界
plot_decision_boundary(lambda x: predict(parameters, x.T), X, Y)
plt.title("Decision Boundary for hidden layer size " + str(4))
predictions = predict(parameters, X)
print ('准确率: %d' % float((np.dot(Y, predictions.T) + np.dot(1 - Y, 1 - predictions.T)) / float(Y.size) * 100) + '%')
plt.show()

 

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