三、浅层神经网络
1、神经网络概览
什么是神经网络?如下图:
神经网络的结构与逻辑回归类似,只是神经网络的层数比逻辑回归多一层,多出来的中间那层称为隐藏层或中间层。从计算上来看,神经网络的正向传播和反向传播比logistic回归多了一次重复的计算。引入新的标签:方括号上标[i]表示当前所处的层数;圆括号上标(i)表示第i个样本。
2、神经网络表示
下面我们讲解只有一个隐藏层的神经网络,这是一张神经网络结构图:

现在把隐藏层输出记为a^[1],上标从0开始。用下标表示第几个神经元,注意下标从1开始。例如a^[1]_1表示隐藏层第1个神经元(节点)。在python中,隐藏层有4个神经元就可以写成下面矩阵的形式:

当我们在计算网络的层数时,不算输入层。关于隐藏层对应的权重W^[i]和常数项b^[i]维度问题,总结:第i层的权重W^[i]维度的行等于i层神经元的个数,列等于i-1层神经元的个数;第i层常数项b^[i]的行等于第i层神经元的个数,列始终为1。
3、计算神经网络的输出
两层神经网络可以看成是逻辑回归再重复计算一次。如下图所示,逻辑回归的正向计算可以分解成计算z和a的两部分:

下面的圆圈代表了回归计算的两个步骤,神经网络重复计算这些步骤很多次:

对于两层神经网络,从输入层到隐藏层对应一次逻辑回归运算;从隐藏层到输出层对应一次逻辑回归运算。每层计算时,要注意对应的上标和下标,一般我们记上标方括号表示layer,下标表示第几个神经元。例如a^[l]_i表示第l层的第i个神经元。注意,i从1开始,l从0开始。


上述每个节点的计算都对应着一次逻辑运算的过程,分别由计算z和a两部分组成。
4、激活函数
在隐藏层和输出层可以选择激活函数,目前为止我们用的是sigma激活函数,但有时其他函数效果要好的多。我们看一些可供选择的函数。不同的激活函数有各自的优点。
sigmoid函数-(0,1)
tanh函数(双曲正切函数)-(-1,1)
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此激活函数的平均值更接近0,类似数据中心化的效果,使数据平均值接近0,这实际让下一层的学习更方便一点。
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sigmoid函数和tanh函数都有一个缺点,如果z非常大或非常小时,那么导数的梯度(函数的斜率)可能就很小,接近0,这样会拖慢梯度下降算法。
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ReLU函数(修正线性单元)-机器学习最受欢迎的工具
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在选择激活函数时有一些经验法则,如果你的输出是0和1(二元分类),那么sigmoid函数很适合作为输出层的激活函数,然后其他所有单元都用ReLU函数,这是今天大多数人都在用的。
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ReLU的缺点是当z为负时,导数为0,但还有一个版本,带泄露的ReLU。
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Leaky ReLU函数(泄露的ReLU)
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为什么是0.01,可以把它设成学习函数的另一个参数,根据实际效果进行改动
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总结:
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sigmoid函数除非用于在二元分类的输出层,不然绝对不要用,或者几乎从来不用。
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tanh函数几乎在所有场合都更优越。
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最常用的默认激活函数是ReLU,如果你不确定用哪个,你就用这个,或者也可以试试带泄漏的ReLU。
深度学习的一个特点是在建立神经网络时经常有很多不同的选择,比如隐藏单元数、激活函数,还有如何初始化权重。当不确定哪种激活函数最有效时,可以先试试在保留交叉验证数据集上或者开发集上跑,看看哪个参数效果好,就用哪个。
5、随机初始化
当你训练神经网络时,随机初始化权重很重要,对于logistic回归,可以将群组初始化为零,但如果神经网络的各参数数组全部初始化为0,再使用梯度下降算法,那会完全无效。
一般做法是将W进行随机初始化(b可初始化为零)。python里可以使用如下语句进行W和b的初始化:
W_1 = np.random.randn((2,2))*0.01 #随机初始化 b_1 = np.zero((2,1)) W_2 = np.random.randn((1,2))*0.01 b_2 = 0 # 0.01怎么来的?实际上我们通常把权重矩阵初始化成非常小非常小的随机值,因为如果使用tanh函数或sigmoid激活函数, # 权重太大是计算出来的值可能落在平缓部分,梯度的斜率非常小,意味着梯度下降法会非常慢,学习过程也会非常慢。
6、课后习题
构建神经网络的一般方法是:
- 定义神经网络结构(输入单元的数量,隐藏单元的数量等)。
- 初始化模型的参数
- 循环:
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- 实施前向传播
- 计算损失
- 实现向后传播
- 更新参数(梯度下降)
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from testCases import * import sklearn import sklearn.datasets import sklearn.linear_model from planar_utils import plot_decision_boundary, sigmoid, load_planar_dataset, load_extra_datasets np.random.seed(1) # 加载数据并将其可视化 X, Y = load_planar_dataset() plt.scatter(X[0, :], X[1, :], c=Y, s=40, cmap=plt.cm.Spectral) # 每个点的颜色将根据 Y 中的值进行着色。 # plt.show() # 仔细查看数据 shape_X = X.shape shape_Y = Y.shape m = Y.shape[1] # 训练集里面的数量 # print('X的维度为:' + str(shape_X)) # print('Y的维度为:' + str(shape_Y)) # print('数据集里面的数据有:' + str(m) + ' 个') # 在构建完整的神经网络之前,先让我们看看逻辑回归在这个问题上的表现如何, # 我们可以使用sklearn的内置函数来做到这一点, clf = sklearn.linear_model.LogisticRegressionCV() # LogisticRegressionCV 会在不同的正则化参数(C 值)上进行交叉验证,以找到最优的正则化强度。 # 为什么转置?通常在机器学习模型中,数据集形状应为(n_samples, n_features),即每行代表一个样本,每列代表一个特征。 clf.fit(X.T,Y.T) # 现在将逻辑回归分类器绘制出来 plot_decision_boundary(lambda x: clf.predict(x), X, Y) # 绘制决策边界 plt.title('Logistic Regression') # 图标题 # plt.show() LR_predictions = clf.predict(X.T) # print ("逻辑回归的准确性: %d " % float((np.dot(Y, LR_predictions) + # np.dot(1 - Y,1 - LR_predictions)) / float(Y.size) * 100) + # "% " + "(正确标记的数据点所占的百分比)") # 构建神经网络结构 def layer_sizes(X , Y): """ 参数: X - 输入数据集,维度为(输入的数量,训练/测试的数量) Y - 标签,维度为(输出的数量,训练/测试数量) 返回: n_x - 输入层的数量 n_h - 隐藏层的数量 n_y - 输出层的数量 """ n_x = X.shape[0] n_h = 4 n_y = Y.shape[0] return(n_x, n_h, n_y) # # 测试Layer_sizes # print("=========================测试layer_sizes=========================") # X_asses , Y_asses = layer_sizes_test_case() # (n_x,n_h,n_y) = layer_sizes(X_asses,Y_asses) # print("输入层的节点数量为: n_x = " + str(n_x)) # print("隐藏层的节点数量为: n_h = " + str(n_h)) # print("输出层的节点数量为: n_y = " + str(n_y)) # 初始化模型的参数 def initialize_parameters(n_x, n_h, n_y): """ 参数: n_x - 输入层节点的数量 n_h - 隐藏层节点的数量 n_y - 输出层节点的数量 返回: parameters - 包含参数的字典: W1 - 从输入层到隐藏层的权重矩阵,维度为(n_h,n_x) b1 - 从输入层到隐藏层的偏向量,维度为(n_h,1) W2 - 从隐藏层到输出层的权重矩阵,维度为(n_y,n_h) b2 - 从隐藏层到输出层的偏向量,维度为(n_y,1) """ np.random.seed(2) # 指定一个随机种子,确保输出结果一样 W1 = np.random.randn(n_h,n_x) * 0.01 b1 = np.zeros(shape=(n_h, 1)) W2 = np.random.randn(n_y,n_h) * 0.01 b2 = np.zeros(shape=(n_y, 1)) # 使用断言确保数据格式是正确的 assert(W1.shape == ( n_h , n_x )) assert(b1.shape == ( n_h , 1 )) assert(W2.shape == ( n_y , n_h )) assert(b2.shape == ( n_y , 1 )) parameters = {"W1" : W1, "b1" : b1, "W2" : W2, "b2" : b2 } return parameters # # 测试initialize_parameters # print("=========================测试initialize_parameters=========================") # n_x , n_h , n_y = initialize_parameters_test_case() # parameters = initialize_parameters(n_x , n_h , n_y) # print("W1 = " + str(parameters["W1"])) # print("b1 = " + str(parameters["b1"])) # print("W2 = " + str(parameters["W2"])) # print("b2 = " + str(parameters["b2"])) # 构建前向传播函数 def forward_propagation(X, parameters): """ 参数: X - 维度为(n_x,m)的输入数据。 parameters - 初始化函数(initialize_parameters)的输出 返回: A2 - 使用sigmoid()函数计算的第二次激活后的数值 cache - 包含“Z1”,“A1”,“Z2”和“A2”的字典类型变量 """ W1 = parameters["W1"] b1 = parameters["b1"] W2 = parameters["W2"] b2 = parameters["b2"] # 前向传播计算A2 Z1 = np.dot(W1 , X) + b1 A1 = np.tanh(Z1) Z2 = np.dot(W2 , A1) + b2 A2 = sigmoid(Z2) # 使用断言确保我的数据格式是正确的 assert(A2.shape == (1,X.shape[1])) cache = {"Z1": Z1, "A1": A1, "Z2": Z2, "A2": A2} return (A2, cache) # # 测试forward_propagation # print("=========================测试forward_propagation=========================") # X_assess, parameters = forward_propagation_test_case() # A2, cache = forward_propagation(X_assess, parameters) # print(np.mean(cache["Z1"]), np.mean(cache["A1"]), np.mean(cache["Z2"]), np.mean(cache["A2"])) # 计算损失 def compute_cost(A2,Y,parameters): """ 计算方程交叉熵成本, 参数: A2 - 使用sigmoid()函数计算的第二次激活后的数值 Y - "True"标签向量,维度为(1,数量) parameters - 一个包含W1,B1,W2和B2的字典类型的变量 返回: 成本 - 交叉熵成本给出方程 """ m = Y.shape[1] W1 = parameters["W1"] W2 = parameters["W2"] #计算成本 logprobs = logprobs = np.multiply(np.log(A2), Y) + np.multiply((1 - Y), np.log(1 - A2)) cost = - np.sum(logprobs) / m cost = float(np.squeeze(cost)) assert(isinstance(cost,float)) return cost # 构建向后传播函数 def backward_propagation(parameters,cache,X,Y): """ 使用上述说明搭建反向传播函数。 参数: parameters - 包含我们的参数的一个字典类型的变量。 cache - 包含“Z1”,“A1”,“Z2”和“A2”的字典类型的变量。 X - 输入数据,维度为(2,数量) Y - “True”标签,维度为(1,数量) 返回: grads - 包含W和b的导数一个字典类型的变量。 """ m = X.shape[1] W1 = parameters["W1"] W2 = parameters["W2"] A1 = cache["A1"] A2 = cache["A2"] dZ2= A2 - Y dW2 = (1 / m) * np.dot(dZ2, A1.T) db2 = (1 / m) * np.sum(dZ2, axis=1, keepdims=True) dZ1 = np.multiply(np.dot(W2.T, dZ2), 1 - np.power(A1, 2)) dW1 = (1 / m) * np.dot(dZ1, X.T) db1 = (1 / m) * np.sum(dZ1, axis=1, keepdims=True) grads = {"dW1": dW1, "db1": db1, "dW2": dW2, "db2": db2 } return grads # 更新参数 def update_parameters(parameters,grads,learning_rate=1.2): """ 使用上面给出的梯度下降更新规则更新参数 参数: parameters - 包含参数的字典类型的变量。 grads - 包含导数值的字典类型的变量。 learning_rate - 学习速率 返回: parameters - 包含更新参数的字典类型的变量。 """ W1,W2 = parameters["W1"],parameters["W2"] b1,b2 = parameters["b1"],parameters["b2"] dW1,dW2 = grads["dW1"],grads["dW2"] db1,db2 = grads["db1"],grads["db2"] W1 = W1 - learning_rate * dW1 b1 = b1 - learning_rate * db1 W2 = W2 - learning_rate * dW2 b2 = b2 - learning_rate * db2 parameters = {"W1": W1, "b1": b1, "W2": W2, "b2": b2} return parameters # 整合模型 def nn_model(X,Y,n_h,num_iterations,print_cost=False): """ 参数: X - 数据集,维度为(2,示例数) Y - 标签,维度为(1,示例数) n_h - 隐藏层的数量 num_iterations - 梯度下降循环中的迭代次数 print_cost - 如果为True,则每1000次迭代打印一次成本数值 返回: parameters - 模型学习的参数,它们可以用来进行预测。 """ np.random.seed(3) #指定随机种子 n_x = layer_sizes(X, Y)[0] n_y = layer_sizes(X, Y)[2] parameters = initialize_parameters(n_x,n_h,n_y) W1 = parameters["W1"] b1 = parameters["b1"] W2 = parameters["W2"] b2 = parameters["b2"] for i in range(num_iterations): A2 , cache = forward_propagation(X,parameters) cost = compute_cost(A2,Y,parameters) grads = backward_propagation(parameters,cache,X,Y) parameters = update_parameters(parameters,grads,learning_rate = 0.5) if print_cost: if i%1000 == 0: print("第 ",i," 次循环,成本为:"+str(cost)) return parameters # 预测 def predict(parameters,X): """ 使用学习的参数,为X中的每个示例预测一个类 参数: parameters - 包含参数的字典类型的变量。 X - 输入数据(n_x,m) 返回 predictions - 我们模型预测的向量(红色:0 /蓝色:1) """ A2 , cache = forward_propagation(X,parameters) predictions = np.round(A2) return predictions # 正式运行 parameters = nn_model(X, Y, n_h = 4, num_iterations=10000, print_cost=True) #绘制边界 plot_decision_boundary(lambda x: predict(parameters, x.T), X, Y) plt.title("Decision Boundary for hidden layer size " + str(4)) predictions = predict(parameters, X) print ('准确率: %d' % float((np.dot(Y, predictions.T) + np.dot(1 - Y, 1 - predictions.T)) / float(Y.size) * 100) + '%') plt.show()
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