题解:SPOJ1026 Favorite Dice
题目大意
给你一个n个面的骰子,每个面朝上的几率相等,问每个面都被甩到的期望次数
题解
典型的赠券收集问题。
我们考虑当你手上已有\(i\)种不同的数,从集合中任选一个数得到新数的概率,为\(\frac{n-i+1}{n}\),那期望即为\(\frac{1}{p} = \frac{n}{n-i+1}\)。所以总期望为\(\sum_{i = 1}^{n}\frac{n}{n-i+1} = \sum_{i=1}^{n}\frac{n}{i}\)。
当然也可以用概率dp来推:
我们设\(f[i]\)表示取了\(i\)种数时还须取的数的期望。
显然\(f[n] = 0\),答案为\(f[0]\),所以为逆推。
又由于选第\(i\)个数后再选一个数与已经选过的数不同的概率为\(\frac{n-i}{n}\),相同为\(\frac{i}{n}\)。
于是可得\(f[i] = \frac{n-i}{n}f[i+1]+\frac{i}{n}f[i] + 1\)。
解得\(f[i] = f[i+1] + \frac{n}{n-i}\)。
于是整理一下就变成了\(f[0] = \sum_{i=1}^{n}\frac{n}{i}\)。