20180523模拟赛T1——前缀？

（a.cpp/c/pas）
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简化版题意

jyt毒瘤，写了超长的题面，要看完整题面的翻到最后……

老太太认为一个长度为 N 的仅由‘0’、‘1’、‘2’三个字符组成的字符串是贾家的，当且仅当这个字符串满足以下几点：

这个字符串的所有前缀（不包括这个串本身）都是贾家的。
这个字符串中字符‘2’出现的个数不少于字符‘1’出现的个数。
这个字符串中字符‘1’出现的个数不少于字符‘0’出现的个数。

请你求出有多少个长度为 N 的字符串是贾家的，由于答案可能很大，你只需要给出答案 mod 1,000,000,007 的值。

Input

第一行一个正整数 N，表示字符串的长度。

Output

输出一个正整数，表示答案。

Sample Input

3

Sample Output

4

Sample Explanation

这 4 个字符串分别为“221”、“212”、“210”、“222”。

Data Limitation

对于 20%的数据：N≤10。
对于 50%的数据：N≤20。
对于 80%的数据：N≤300。
对于 100%的数据：N≤400。

题解

dp，设\(f[i][j][k]\)表示总长度为\(i\)，有\(j\)个\(0\)，\(k\)个\(1\)。大力转移？开一个\(400^3\)的数组，发现MLE了，听说可以卷一下，然而不会啊……

int f[maxn][maxn][2];
f[0][0][0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
	for(int j=0;j<=i;j++)
		for(int k=j;j+k<=i;k++)
		{
			int l=i-j-k,tp=i%2;
			f[j][k][tp]=0;
			if(l<k) break;
			if(j>0) (f[j][k][tp]+=f[j-1][k][tp^1])%=MOD;
			if(k>j) (f[j][k][tp]+=f[j][k-1][tp^1])%=MOD;
			if(l>k) (f[j][k][tp]+=f[j][k][tp^1])%=MOD;
			if(i==n) (ans+=f[j][k][tp])%=MOD;
		}

对于这种方法，首先可以选择打表。跑得又快，又不用管内存（orz dfs大佬cqz神犇）。

当然，也可以选择进一步缩小\(j, k\)的范围。不难发现\(3j\le i,2k\le(i-j)\)，于是只要枚举合法的部分即可，数组也可以缩小。

for(int i = 1; i <= n; ++i)
	for(int j = 0; 3*j <= i; ++j)
		for(int k = j; (k<<1) <= (i-j); ++k)
		{
			dp[i][j][k] = (dp[i-1][j-1][k] + dp[i-1][j][k]) % mod;
			dp[i][j][k] = (dp[i-1][j][k-1] + dp[i][j][k]) % mod;
		}

原版题面

且说黛黛自那日弃舟登岸时，便有荣国府打发了轿子并拉行李的车辆久候了。这黛黛常听得母亲说过，他外祖母家与别家不同。他近日所见的这几个三等仆妇，吃穿用度，已是不凡了，何况今至其家。因此步步留心，时时在意，不肯轻易多说一句话，多行一步路，惟恐被人耻笑了他去。自上了轿，进入城中，从纱窗向外瞧了一瞧，其街市之繁华，人烟之阜盛，自与别处不同。又行了半日，忽见街北蹲着两个大石狮子，三间兽头大门，门前列坐着十来个华冠丽服之人。正门却不开，只有东西两角门有人出入。正门之上有一匾，匾上大书“敕造宁国府”五个大字。黛黛想道：这必是外祖之长房了。想着，又往西行，不多远，照样也是三间大门，方是荣国府了。却不进正门，只进了西边角门。那轿夫抬进去，走了一射之地，将转弯时，便歇下退出去了。后面的婆子们已都下了轿，赶上前来。另换了三四个衣帽周全十七八岁的小厮上来，复抬起轿子。众婆子步下围随至一垂花门前落下。众小厮退出，众婆子上来打起轿帘，扶黛黛下轿。黛黛扶着婆子的手，进了垂花门，两边是抄手游廊，当中是穿堂，当地放着一个紫檀架子大理石的大插屏。转过插屏，小小的三间厅，厅后就是后面的正房大院。正面五间上房，皆雕梁画栋，两边穿山游廊厢房，挂着各色鹦鹉、画眉等鸟雀。台矶之上，坐着几个穿红着绿的丫头，一见他们来了，便忙都笑迎上来，说：“刚才老太太边做题还念呢，可巧就来了。”于是三四人争着打起帘笼，一面听得人回话：“黛姑娘到了。”黛黛忙问：“不知老太太做的是什么题？”那丫鬟答道：“说来话长。老太太认为一个长度为 N 的仅由‘0’、‘1’、‘2’三个字符组成的字符串是贾家的，当且仅当这个字符串满足以下几点：

这个字符串的所有前缀（不包括这个串本身）都是贾家的。
这个字符串中字符‘2’出现的个数不少于字符‘1’出现的个数。
这个字符串中字符‘1’出现的个数不少于字符‘0’出现的个数。