学习：中国剩余定理

中国剩余定理是数论中的一个关于一元线性同余方程组的定理，说明了一元线性同余方程组有解的准则以及求解方法。也称为孙子定理。

描述

中国剩余定理给出了以下的一元线性同余方程组：

\[(S) : \quad \left\{ \begin{matrix} x \equiv a_1 \pmod {m_1} \\ x \equiv a_2 \pmod {m_2} \\ \vdots \qquad\qquad\qquad \\ x \equiv a_n \pmod {m_n} \end{matrix} \right. \]

有解的判定条件，并用构造法给出了在有解情况下解的具体形式。

问题的解：

中国剩余定理说明：假设整数\(m_1, m_2,\dots, m_n\)其中任两数互质，则对任意的整数：\(a_1, a_2,\cdots, a_n\)，方程组 \((S)\)有解，并且通解可以用如下方式构造得到：
设

\[M=\prod_{i=1}^{n}{a_i},M_i=\frac{M}{a_i},t_i=M_i^{-1}\pmod {m_i} \]

那么方程组的通解形式为:

\[x=(\sum^n_{i=1}{a_i t_i M_i})+kM \]

在模域下只有一个解：

\[x\equiv \sum^n_{i=1}{a_i t_i M_i}\pmod M \]

证明

从假设可知，对任何\(i\in\{1,2,\cdots,n \}\)，由于$\forall j\in{1,2,\cdots,n}, j\neq i,\operatorname{gcd}(m_i, m_j) = 1 $，所以 \(\operatorname{gcd}(m_i,\sum_{j\not=i}{m_j}) = 1\)，即\(\operatorname{gcd}(m_i, M_i) = 1.\) 这说明必定存在整数\(t_{i}\)使得$ t_i M_i \equiv 1 \pmod {m_i}. $

考察乘积$ a_i t_i M_i$可知：

\[a_i t_i M_i \equiv a_i \cdot 1 \equiv a_i \pmod {m_i}, \]

又由于\(a_it_i\prod_{j\not=i}{m_i}\)有约数\(m_k(k\not=i)\)，
所以

\[\forall j \in \{1, 2, \cdots , n\}, \; j\neq i, \; \; a_i t_i M_i \equiv 0 \pmod {m_j}. \]

所以\(x = a_1 t_1 M_1 + a_2 t_2 M_2 + \cdots + a_n t_n M_n\)满足：

\[\forall i \in \{1, 2, \cdots , n\}, \; \; x = a_i t_i M_i + \sum_{j \neq i} a_j t_j M_j \equiv a_i + \sum_{j \neq i} 0 \equiv a_i \pmod {m_i}. \]

这说明\(x\)就是方程组\((S)\)的一个解。

另外，假设\(x_1\)和\(x_2\)都是方程组\((S)\)的解，那么：

\[\forall i \in \{1, 2, \cdots , n\}, \; \; x_1 - x_2 \equiv 0 \pmod {m_i} . \]

而\(m_1, m_2, \cdots, m_n\)两两互质，这说明\(M\mid(x_1-x_2).\)所以方程组\((S)\)的任何两个解之间必然相差\(M\)的整数倍。而另一方面， \(x = a_1 t_1 M_1 + a_2 t_2 M_2 + \cdots + a_n t_n M_n\)是一个解，同时所有形式为：

\[a_1 t_1 M_1 + a_2 t_2 M_2 + \cdots + a_n t_n M_n + k M= k M + \sum_{i=1}^n a_i t_i M_i, \quad k \in \mathbb{Z} \]

的整数也是方程组\((S)\)的解。所以方程组\((S)\)所有的解的集合就是：

\[\{k M + \sum_{i=1}^n a_i t_i M_i,\quad k \in \mathbb{Z} \}. \]

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参考资料

• wikipedia