学习：费马小定理 & 欧拉定理
费马小定理
描述
若\(p\)为素数，\(a\in Z\)，则有\(a^p\equiv a\pmod p\)。如果\(p\nmid a\)，则有\(a^{p-1}\equiv 1\pmod p\)。
证明
费马小定理的证法有很多，此处介绍3种
证法一
摘自：《初等数论》 冯志刚 著，有改动
此处用归纳法证明。
当\(a=1\)时，原命题显然成立。
设\(a=n\)时命题成立，即\(n^p\equiv n\pmod p\)，故\(n^p-n\equiv 0\pmod p\)。
考虑二项式系数\(C^k_p=\frac{p!}{k!(p-k)!}\)，若\(k\)不为\(p\)或\(0\)，由于分子有质数\(p\)，但分母不含\(p\)，故分子的\(p\)能保留，不被约分而除去，即\(C^k_p\)恒为\(p\)的倍数。
故有
所以对于任意\(a\in N_+\)，有\(p\mid (a^p-a)\)，故有\(a^p\equiv a\pmod p\)。
证法二
摘自： Wikipedia，有改动
与证法一类似，先证明当\(p\)是质数时\(C^k_p\)恒为\(p\)的倍数。
然后就可以得到
当\(b=a-1\)时，可得\(a^p\equiv a\pmod p\)
证法三
摘自：Matrix67的博客
首先我们证明这样一个结论：如果\(p\)是一个素数的话，那么对任意一个小于\(p\)的正整数\(a\)，\(a, 2a, 3a,\cdots, (p-1)a\)除以\(p\)的余数正好是一个\(1\)到\(p-1\)的排列。
假如结论不成立的话，那么就是说有两个小于\(p\)的正整数\(m\)和\(n\)使得\(na\)和\(ma\)除以\(p\)的余数相同。不妨假设\(n>m\)，则\(p\)可以整除\(a(n-m)\)。由于\(p\)是素数，那么\(a\)和\(n-m\)中至少有一个含有因子\(p\)。这显然是不可能的，因为\(a\)和\(n-m\)都比\(p\)小。
故：
也即：
两边同时除以\((p-1)!\)，就得到了我们的最终结论：
应用
例题：LJJ算数
题目描述
LJJ刚上完了一节课！这节课是数学课！他知道了加减属于一级运算，乘除属于二级运算，幂则属于三级运算，而幂的优先级>乘除的优先级>加减的优先级（这是几年级的数学课）。但是，从上一套试卷+上一题中，我们知道了LJJ是一个总是突发奇想并且智商不够的人（也就是说他又想出一个问题给你咯）。他发明了一种四级运算，我们姑且用符号#来表示（找不到别的符号了）。我们知道\(a\times b=a+a+a+\cdots+a\)（加b次），\(a^b=a\times a\times a\times a\times \cdots \times a\)（乘b次），则\(a\#b=((((a^a)^a)^a)^ \cdots )^a\)(进行幂运算b次)，自然，#的优先级比幂的优先级高。那么，LJJ就请你来帮他求\(a\#b \mod {1000000007}\)咯。
输入格式：
输入仅1行，即\(a,b\)。
输出格式：
输出仅1行，即\(a\#b \mod 1000000007\)。
输入输出样例
输入样例#1：
3 5
输出样例#1：
968803245
说明
首先说明，样例答案不mod其实是4.4342648824303776994824963061915e+38（来自出题人的恶意）
然后，数据范围：
对于20%的数据，\(a\le1000,b\le1000\)
对于50%的数据，\(a\le 10^{16},b\le 10000\)
对于100%的数据，\(a\le 10^{16},b\le 10^{16}\)
题解
由费马小定理，得
由此递归式，易知
于是用两次快速幂+取模即可。
代码
#include <cstdio>
typedef long long LL;
inline LL pow_mod(LL a, LL b, LL mod)//快速幂模板
{
a %= mod;
LL ans = 1;
for(; b; b >>= 1,a *= a,a %= mod)
if(b & 1)
ans = ans*a%mod;
return ans%mod;
}
const LL mod = 1e9+7;
int main()
{
LL a,b;
scanf("%lld%lld", &a, &b);
printf("%lld", pow_mod(a, pow_mod(a, b-1, mod-1), mod));
return 0;
}
求数论倒数
数论倒数也称为模倒数，或者模逆元。若\(ab\equiv 1\pmod p\)，则称\(b\)是\(a\)的数论倒数，亦可写作\(a^{-1}\equiv b\pmod p\)。
若\(p\)是素数，则\(a^{p-1}=a\times a^{p-2}\equiv 1\pmod p\)，故\(a^{-1}\equiv a^{p-2}\pmod p\)。
但要注意前提条件是\(p\)是素数。
欧拉定理
同余类、剩余系、欧拉函数
对于任意整数，我们将它模\(n\)，结果必定为\(0\)到\(n-1\)的整数之一。那么，我们可以把所有模\(n\)后同余的数看成一个集合，那么我们就把整数分成了\(n\)个集合，我们把这样的模\(n\)同余的所有整数组成的集合（即上述中的任意一个集合）称为同余类，标记为\({\overline {a}}_{n}\)，假若从上下文知道模\(n\)，则也可标记为\([a]\)。
那么，模\(n\)的同余类有\(n\)个，我们如何表示它们呢？和并查集的思想一样：任取集合中的一个数作为集合的代表元素。我们所取的那个元素就被称为该同余类的代表数。显然，同余类中的每个元素都可以作为该同余类的代表数。
剩余系指的是模\(n\)同余类的代表数集合。一个完全剩余系（完系）指的是模\(n\)的全部同余类的代表数的集合。例如，模\(3\)有三个同余类\([0],[1],[2]\)，其完系可以是\(\{9,12+1,15+2\}\)。如果该集合是由每个同余类的最小非负整数所组成，亦即$ {0,1,2,...,n-1}\(，则称该集合为模\)n\(的**非负最小完全剩余系**。模\)n\(完整余数系统中，与模\)n\(互质的代表数所构成的集合，称为模\)n$的简化剩余系（简系）。
与\(m\)互素的所有模\(m\)的同余类的个数记为\(\varphi(n)\)，通常称为欧拉函数。显然，\(\varphi(n)\)等于\(1,2,\cdots,m\)中与\(m\)互素的个数。
若\((a,m)=1\)，而\(a_1,a_2,\cdots,a_{\varphi(m)}\)构成模\(m\)的一个简系，则我们可以证明\(aa_1,aa_2,\cdots,aa_{\varphi(m)}\)也是模\(m\)的简系。
欧拉定理
若\((a,n)=1\)，则\(a^{\varphi(n)}\equiv 1\pmod n\)。（这里\(n\in N_+,a\in Z\)）
证明
设\(a_1,a_2,\cdots,a_{\varphi(n)}\)是模\(n\)的简系，则由\((a,m)=1\)，可知\(aa_1,aa_2,\cdots,aa_{\varphi(n)}\)也是模\(n\)的简系。因此，$$\prod^{\varphi(n)}{i=1}a_i\equiv \prod^{\varphi(n)}aa_i\pmod n,$$即$$m\mid (\prod{\varphi(n)}_{i=1}a_i)(a-1).$$又因为\((a_i,m)=1\)，故$$a^{\varphi(n)}\equiv 1\pmod n.$$
就先写到这儿吧，欧拉定理的应用以后再说。
参考资料
Wikipedia
主要参考了：
《初等数论》 冯志刚 著
主要参考了：
2.2 同余类与剩余系
2.3 费马小定理与欧拉定理
