转载：每日一题[1140]寻找递推关系
作者：意琦行|Math173
原题
定义在正整数集且在正整数集上取值的函数\(f(x)\)满足 \(f(1)\not=1\)，且对\(\forall n\in N_+\)，有 \(f(n)+f(n+1) +f(f(n))=3n+1\)，则 \(f(2015)=\)___．
答案
\(2016\)．
分析与解
根据题意，当\(n=1\)时有
\[f(1)+f(2)+f(f(1))=4,
\]
因此\(f(1)=2\)，\(f(2)=1\)．接下来证明
\[f(n)=\begin{cases}n+1 & 2\nmid n\\n-1 & 2\mid n\end{cases}
\]
归纳基础
当 n=1,2 时，命题显然成立．
递推证明
假设当\(n\le k(k\in N_+)\)时命题成立，则有
\[f(k)+f(k+1)+f(f(k))=3k+1,
\]
也即$$3k+1-(k+1)−f(k+1)$$
\[3k+1-(k-1)-f(k-1)
\]
\[f(k+1)=3k+1-f(k)-f(f(k))=\begin{cases}3k+1-(k+1)-f(k+1) & 2\nmid k\\3k+1-(k-1)-f(k-1) & 2\mid k\end{cases}=\begin{cases}3k+1-(k+1)-f(k+1) & 2\nmid k\\3k+1-(k-1)-k & 2\mid k \end{cases},
\]
从而有
\[f(n)=\begin{cases}n+1 & 2\nmid n\\n-1 & 2\mid n\end{cases},
\]
于是命题对\(n=k+1\)也成立．
因此\(f(2015)=2016.\)
