【DP】三角形最小路径和

题源：IOI飞入寻常百姓家

class Solution:
    def minimumTotal(self, triangle: List[List[int]]) -> int:
        n = len(triangle)
        dp = [[0] * (i + 1) for i in range(n)]

        dp[0][0] = triangle[0][0]

        for i in range(1, n):
            dp[i][0] = dp[i - 1][0] + triangle[i][0]
            dp[i][i] = dp[i - 1][i - 1] + triangle[i][i]

            for j in range(1, i):
                dp[i][j] = min(dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j]) + triangle[i][j]

        return min(dp[n - 1])

状态转移方程dp[i][j] = min(dp[i-1][j-1], dp[i-1][j]) + triangle[i][j]，非常的直观，但是需要主要边界条件需要注意，即dp[i][0]和dp[i][i]的取值是固定的，需要在进行每一层的dp之前/后额外写代码完成初始化，以免出现边界条件问题

优化成空间复杂度O(N)的方法：

只需要维护两行的状态，而不是整个三角形的状态。我们可以使用两个一维数组，分别表示当前行和上一行的状态

class Solution:
    def minimumTotal(self, triangle: List[List[int]]) -> int:
        n = len(triangle)
        dp = [0] * n

        dp[0] = triangle[0][0]

        for i in range(1, n):
            dp[i] = dp[i - 1] + triangle[i][i]  # 更新最右侧元素

            for j in range(i - 1, 0, -1):
                dp[j] = min(dp[j - 1], dp[j]) + triangle[i][j]

            dp[0] = dp[0] + triangle[i][0]  # 更新最左侧元素

        return min(dp)