【摘录】同工科研究生谈谈如何做研究

6. 提升研究结果的等级通常需要付出艰辛的劳动。有以下几个方面可以参考。

（1）推广和深化已有的研究结果。

对信息处理和自动控制专业的研究生，可能给你的工作带来改进的方法例子如：

l 将一维问题推广到多维；将标量问题推广到向量和张量问题；

l 将静态问题变成虚拟时间的动态演化结果；

l 将常规的梯度寻优算法变成流型上的自然梯度算法；

l 使用更高级的概率估计方法；

l 从复杂现象中抽取主流现象；

l 使用新近报道的数学化技术方法。

可能给你的工作带来创新点的方法例子如：

l 使用稳健估计代替常规的概率或非概率估计；

l 在求解问题中增加对解性质的限制（规整化技术、复杂性限制、特定约束等）；

l 对复杂问题和观测使用含隐层的数学模型；

l 用广义测度处理那些无法用常规测度描述的性质；

l 增加应用环境的复杂性、过程分歧和数据融合。

这些方法可能会改变求解的理论和方法，并使得解具有更希望的性质。

 

（3）采用高雅的数学描述。

高雅的数学描述会提高你论文的等级和加强评审人对你基础功底的认可。例如泛函分析、集合、测度、度量空间和拓扑空间、现代代数、微分几何等数学方面的入门知识和表达方法对工科研究者大有意义。只要用得恰当，会取得良好效果。自然，这要求研究者具有较深入的数学背景。决定于你的数学背景，把握数学描述技巧的伸缩性可以很大。此处仅仅能举一点点例子供参考。

习惯于用集合、空间、映射的表达方法；

习惯于用数学分析的方法证明你研究的问题，而不是简单地套用现有结果；

尽可能掌握如何证明序列的收敛、解的存在和唯一的方法和技巧；

用泛函变分、Fréchet导数的观点处理泛函极值，而不是简单地引用优化理论结果；

学会用Ляпунов（李雅普诺夫）直接法和方向导数法研究稳定性问题；

自动控制专业的研究生不要忘记Понтрягин（庞特里亚金）、Bellman、Kalman 关于最优控制的经典理论；

试一试能否将逐步线性化迭代算法用同伦的观点来解释；

试一试能否将分段平滑近似求解算法用Соболев ( Sobolev)空间的描述方法；

学习使用流型（manifolds）相关理论和广泛应用（参数估计、模式识别、盲源分离、受限制优化、降维技术等等）；

学习使用群、张量的理论和方法来描述多重变换的性质和结果；

当你使用高雅的数学描述方法时，一个最紧要的要求就是准确。如果你还没有把握好，宁可不用，不可滥用。否则会弄巧成拙，造成对你工作的伤害。

对希望提高数学水准的研究生，此处推荐Choquet-Bruhat Y., DeWitt-Morette C., Dillard-Bleick M. Analysis, manifolds and physics, vol.1. Basics (2ed., Elsevier, 1982)(ISBN 0444860177)。这是一本面向工程和物理研究者写的数学书，从基础讲起，内容覆盖了分析和流型相关的重要题目，对基础较好的工科研究生应该不难读。