公钥加密-DES-RSA
公理
双方使用同一规则加密---------密钥（对称加密算法DES）data encryption standard
最大问题
双方一起制定--------办法：密钥交换算法，不用直接传递密钥------------------私钥（非对称加密算法RSA）三位数学家Rivest、Shamir 和 Adleman
互质关系
除了1以外，没有其他公因子 比如，15和32没有公因子:
- 任意两个质数构成互质关系，比如13和61。
- 一个数是质数，另一个数只要不是前者的倍数，两者就构成互质关系，比如3和10。
- 如果两个数之中，较大的那个数是质数，则两者构成互质关系，比如97和57。
- 1和任意一个自然数是都是互质关系，比如1和99。
- p是大于1的整数，则p和p-1构成互质关系，比如57和56。
6. p是大于1的奇数，则p和p-2构成互质关系，比如17和15。
欧拉函数
任意正整数n，请问在 <= n 的正整数之中，有多少个与n构成互质关系？-----欧拉函数
Φ(n) = n * (1 - 1/p1)*(1 - 1/p2)*(1 - 1/p3)*(1 - 1/p4)
Φ(1323) = Φ(3^3 * 7^2) = 1323 * （1 - 1/3）（1 - 1/7）
欧拉定理
----- a和b互质
------- a^Φ(b) = 1 (mod b) -----》 a的（b的欧拉函数）次方减一 :等于:能整除b
3和7互质，而7的欧拉函数φ(7)等于6，所以3的6次方（729）减去1，可以被7整除（728/7=104）
模反元素
如果两个正整数a和n互质，那么一定可以找到整数b，使得 ab-1 被n整除，或者说ab被n除的余数是1
-------ab==1(mod n)
-------a*a^(Φ(b) - 1) = 1 (mod b)
密钥生成的步骤
公钥和私钥
第一步，随机选择两个不相等的质数p和q-----------------61和53
第二步，计算p和q的乘积n------------------------------3233写成二进制是110010100001，一共有12位，所以这个密钥就是12位实际应用中，RSA密钥一般是1024位，重要场合则为2048位
n = p×q
第三步，计算n的欧拉函数φ(n)-----------------φ(3233)等于60×52，即3120
φ(n) = (p-1)(q-1)
第四步，随机选择一个整数e，条件是1------------在1到3120之间，随机选择了17,实际应用中，常常选择65537
e ≡ range(1 , φ(n))
第五步，计算e对于φ(n)的模反元素d
ed ≡ 1 (mod φ(n))------------------17x + 3120y = 1(二元一次方程)
第六步，将n和e封装成公钥，n和d封装成私钥
其中一个解 (x,y)=(2753,-15)，即 d=2753
n=3233，e=17，d=2753，所以公钥就是 (3233,17)，私钥就是（3233, 2753）
质积，随机，模反元素， 公钥（质积，随机），私钥（质积，模反元素）
RSA算法的可靠性
（1）ed≡1 (mod φ(n))。只有知道e和φ(n)，才能算出d。
（2）φ(n)=(p-1)(q-1)。只有知道p和q，才能算出φ(n)。
（3）n=pq。只有将n因数分解，才能算出p和q。---------n根号2
33478071698956898786044169
84821269081770479498371376
85689124313889828837938780
02287614711652531743087737
814467999489
×
36746043666799590428244633
79962795263227915816434308
76426760322838157396665112
79233373417143396810270092
798736308917
加密和解密
1 加密要用公钥 (n,e)
信息m必须是整数（字符串可以取ascii值或unicode值），且m必须小于n
me ≡ c (mod n)
爱丽丝的公钥是 (3233, 17)，鲍勃的m假设是65
65 * 17 ≡ 2790 (mod 3233)
鲍勃就把2790发给了爱丽丝
2 解密要用私钥(n,d)
用自己的私钥(3233, 2753) 进行解密
cd ≡ m (mod n)
2790 * 2753 ≡ 65 (mod 3233)
如果要加密大于n的整数，该怎么办？有两种解决方法：一种是把长信息分割成若干段短消息，每段分别加密；另一种是先选择一种"对称性加密算法"（比如DES），用这种算法的密钥加密信息，再用RSA公钥加密DES密钥。
私钥解密的证明
最后，我们来证明，为什么用私钥解密，一定可以正确地得到m。也就是证明下面这个式子：
cd ≡ m (mod n)
因为，根据加密规则
ｍe ≡ c (mod n)
于是，c可以写成下面的形式：
c = me - kn
将c代入要我们要证明的那个解密规则：
(me - kn)d ≡ m (mod n)
它等同于求证
med ≡ m (mod n)
由于
ed ≡ 1 (mod φ(n))
所以
ed = hφ(n)+1
将ed代入：
mhφ(n)+1 ≡ m (mod n)
接下来，分成两种情况证明上面这个式子。
（1）m与n互质。
根据欧拉定理，此时
mφ(n) ≡ 1 (mod n)
得到
(mφ(n))h × m ≡ m (mod n)
原式得到证明。
（2）m与n不是互质关系。
此时，由于n等于质数p和q的乘积，所以m必然等于kp或kq。
以 m = kp为例，考虑到这时k与q必然互质，则根据欧拉定理，下面的式子成立：
(kp)q-1 ≡ 1 (mod q)
进一步得到
[(kp)q-1]h(p-1) × kp ≡ kp (mod q)
即
(kp)ed ≡ kp (mod q)
将它改写成下面的等式
(kp)ed = tq + kp
这时t必然能被p整除，即 t=t'p
(kp)ed = t'pq + kp
因为 m=kp，n=pq，所以
med ≡ m (mod n)
原式得到证明。
结果：
加密：信息*随机 = 加密信息*欧拉函数
解密：加密信息*模反 = 信息*欧拉函数
核心：随机*模反 = 1*欧拉函数
应用:
1 分段加密
2 用DES加密信息，用RSA加密DES密钥
