Full-Duplex Communication for ISAC Joint Beamforming and Power Optimization-1

Z. He, W. Xu, H. Shen, D. W. K. Ng, Y. C. Eldar and X. You, "Full-Duplex Communication for ISAC: Joint Beamforming and Power Optimization," in IEEE Journal on Selected Areas in Communications, vol. 41, no. 9, pp. 2920-2936, Sept. 2023, doi: 10.1109/JSAC.2023.3287540.
keywords: {Sensors;Radar;Downlink;Uplink;Optimization;Array signal processing;Signal to noise ratio;Integrated sensing and communication (ISAC);full-duplex (FD) communication;joint transceiver optimization;beamforming design},

motivation

先前的关于ISAC的波束成形设计在感知方面是全双工的，而在通信方面是半双工的：早期工作着手于发射方向图的匹配和下行用户信干噪比的约束折衷优化问题。这些工作的缺陷在于没有考虑感知回波的设计。对于后续考虑感知回波的设计，可分为：

1. 基站发射ISAC信号与下行用户通信，同时去感知目标，并接收目标回波。
2. 基站接收用户的上行传输，同时发射纯感知信号探测目标并接收回波。

从而使得本文考虑通信感知均为全双工的ISAC设计。本文联合设计全双工基站的收发波束成形设计以及用户上行传输的功率设计。并假设基站测收发机的直接信号耦合受到干扰消除技术的抑制。本文提出两个基于不同指标的优化设计问题，即在目标探测，上行传输和下行传输三种SINR的约束下最小化系统功率和在对感知SINR和发射功率约束下最大化全双工通信的传输速率。

系统模型

考虑本文的基站全双工设想，基站收到的信号由上行通信信号，探测目标的反射信号，环境中的信号依赖型杂波干扰，以及与发射信号耦合的残余信号。

如图所示，基站配置有两个均匀线性阵列，在发射ISAC信号与下行用户通信的同时接收上行传输信号，这两者复用同一时频资源。图中同样说明了自干扰消除模块。基站发送的下行ISAC信号由装备$N_t$根天线的ULA阵列发射，与下行$L$个单天线用户通信并探测一个点目标。通过利用装备$N_r$根天线的ULA接收来自$K$个单天线用户的上行信号以及感知回波。这种复用同一时频资源的感知与通信全双工设计提高了通信的频谱利用率，并且在感知方面占据所有可用频段并且基站持续感知增强了感知性能。

A.信号模型

考虑发射的下行信号，即窄带的ISAC信号$x\in\mathbb{C}^{N_t\times1}$，经由多天线波束成形，用于下行用户的通信和雷达感知。一体化信号可以被表述为

$$\mathbf{x}=\sum_{l=1}^{L}\mathbf{v}_ls_l+\mathbf{s}_0 \tag{1}$$

其中$\mathbf{v}_l\in\mathbb{C}^{N_t\times1}$表示波束赋形矢量，$s_l\in\mathbb{C}$表示下行第$l$个用户能量归一化的通信符号，即$\mathbb{E}\{|s_l|^2\}=1$。$\mathbf{s}_0$表示专用的雷达感知信号，其协方差矩阵为$\mathbf{V}_0\triangleq\mathbb{E}\{\mathbf{s}_0\mathbf{s}_0^H\}$,该专用信号的引入是为了提升发射信号的自由度，进而增强感知信号。在刘祥的一篇论文中被提出，具体考虑的是MIMO雷达自由度受制于通信用户数的情况。我们假设不同用户的通信符号以及专用的感知信号是彼此独立的。下行信号的波束成形设计依赖于波束赋形矢量和专用雷达信号的协方差矩阵。同时我们可确定基站的功率预算：

$$\sum_{l=1}^{L}\begin{Vmatrix}\mathbf{v}_l\end{Vmatrix}^2+Tr(\mathbf{V}_0)\le P_{max} \tag{2}$$

当基站在发射下行ISAC信号时，同时在接收上行传输信号，$d_k\in\mathbb{C}$表示来自于上行用户$k$的信号，并满足

$$\mathbb{E}\{|d_k|^2\}=p_k, \forall k \tag{3}$$

其中$0\le p_k\le P_k$,表示上行用户$k$的平均传输功率，$P_k$表示最大功率预算，$\mathbf{h}_k\in\mathbb{C}^{N_r\times 1}$表示上行用户$k$和基站之间的上行信道。我们通过调整$p_k$实现对上行传输的设计。

假设雷达信道是视距的，同时发射和接收阵列间隔为半波长，发射阵列的导向矢量为

$$a_t(\theta)\triangleq \frac{1}{\sqrt{N_t}}[1,e^{j\pi sin(\theta)},\cdots,e^{j\pi(N_t-1)sin(\theta)}]^T\\ a_r(\theta)\triangleq \frac{1}{\sqrt{N_r}}[1,e^{j\pi sin(\theta)},\cdots,e^{j\pi(N_r-1)sin(\theta)}]^T \tag{4}$$

点目标的方位角或者感兴趣的方向为$\theta_0$,同时$\beta_0$表示由视距路径损失和目标散射系数决定的目标反射系数，假设$\theta_0$和$\beta_0$已实现精确估计且基站已知。全双工基站的接收信号可表示为

$$\mathbf{y}^{BS}=\sum_{k=1}^K\mathbf{h}_kd_k+\beta_0\mathbf{A}(\theta_0)\mathbf{x}+\mathbf{z}+\mathbf{n} \tag{5}$$

其中$\mathbf{A}(\theta_0)\triangleq \mathbf{a}_r(\theta_0)\mathbf{a}^H_t(\theta_0),\mathbf{n}\in\mathbb{C}^{N_r\times 1}$表示加性高斯噪声，其协方差矩阵为$\sigma^2_r\mathbf{I}_{N_r}$

$\mathbf{z}\in\mathbb{C}^{N_r\times 1}$表示信号依赖性干扰。其具体可分为两部分，即来自环境中的杂波干扰和全双工系统带来的残余自干扰。假设环境中存在$I$个独立不相关的杂波分量，方位角为$\{\theta_i\}_{i=1}^{I}$且$\theta_i\neq\theta_0$,杂波反射系数为 $\{\beta_i\}_{i=1}^I,\forall i\in\{1,\cdots,I\}$.全双工系统的自干扰由于自干扰消除技术绝大部分被抑制，假设$\mathbf{H}_{SI}$表示发射天线到接收天线的残余自干扰信道，于是有

$$\mathbf{z}=\sum_{i=1}^{I}\beta_i\mathbf{A}(\theta_i)\mathbf{x}+\mathbf{H}_{SI}\mathbf{x} \tag{6}$$

从而全双工基站的完整接收信号可以表示为

$$\mathbf{y}^{BS}=\sum_{k=1}^K\mathbf{h}_kd_k+\beta_0\mathbf{A}(\theta_0)\mathbf{x}+\sum_{i=1}^{I}\beta_i\mathbf{A}(\theta_i)\mathbf{x}+\mathbf{H}_{SI}\mathbf{x}+\mathbf{n} \tag{7}$$

设$\mathbf{g}_l\in\mathbb{C}^{N_t\times1}$表示下行用户$l$与基站之间的下行信道，下行用户$l$接收的信号可以表示为

$$y^{user}_l=\mathbf{g}_l^H\mathbf{v}_ls_l+\sum_{l'=1,l'\neq l}^{L}\mathbf{g}_l^H\mathbf{v}_{l'}s_{l'}+\mathbf{g}^H_l\mathbf{s}_0+n_l,\forall l \tag{8}$$

其中$n_l$表示方差为$\sigma^2_l$的高斯白噪声。

上述信号模型基于三个假设：

1.目标角度对于收发是相同的，这是考虑收发阵列共址的情况

2.杂波的角度和反射系数事先已估计，基于环境动态数据库。

3.波束赋形设计之前有专门的信道估计阶段，因此在波束赋形设计时信道状态信息准确已知。

B.感知和通信的SINR

雷达和通信的性能主要依赖于信干噪比，具体地考虑MIMO雷达系统的点目标探测，检测概率是随着输出信干噪比单调递增的。因此采用雷达的输出信干噪比作为感知功能的性能指标，我们利用接收波束赋形器$\mathbf{u}\in\mathbb{C}^{N_r\times 1}$来捕获接收信号中的期望目标反射信号。则雷达信干噪比可表示为

$$\begin{align*} \gamma ^{\text {rad}}=&\frac {\mathbb E \{ | \mathbf u^{H} \beta _{0} \mathbf A(\theta _{0}) \mathbf x |^{2} \}}{\sum _{k=1}^{K} \mathbb E \{ | \mathbf u^{H} \mathbf h_{k} d_{k}|^{2} \} + \mathbb E \{| \mathbf u^{H} \mathbf B \mathbf x |^{2}\} + \mathbb E \{| \mathbf u^{H} \mathbf n |^{2}\}} \\=&\frac {| \beta _{0}|^{2} \mathbf u^{H} \mathbf A(\theta _{0}) \mathbf Q \mathbf A(\theta _{0})^{H} \mathbf u} {\mathbf u^{H} \left ({\sum _{k=1}^{K} p_{k} \mathbf h_{k} \mathbf h_{k}^{H} + \mathbf B \mathbf Q {\mathbf B}^{H} + \sigma ^{2}_{r} \mathbf I_{N_{r}} }\right)\mathbf u}, \tag{9}\end{align*}$$

其中，$\mathbf{Q}\triangleq\mathbb{E}\{\mathbf{xx}^H\}=\sum_{l=1}^L\mathbf{v}_l\mathbf{v}^H_l+\mathbf{V}_0$,表示发射的下行ISAC信号的协方差矩阵。并且有$\mathbf{B}\triangleq\sum_{i=1}^{I}\beta_i\mathbf{A}(\theta_i)+\mathbf{H}_{SI}$表示杂波干扰信道和自干扰信道。同样地，考虑另一组接收波束赋形器$\{\mathbf{w}_k\}^K_{k=1}\in\mathbb{C}^{N_r\times 1}$从接收信号中捕获上行传输信号，相关的用户$k$的上行信号接收信干噪比为

$$\begin{align*}&\hspace {-0.5pc}\gamma _{k}^{\text {com,UL}} \\& \displaystyle {=\!\! \frac {p_{k} \mathbf w_{k}^{H} \mathbf h_{k} \mathbf h_{k}^{H} \mathbf w_{k}} {\mathbf w_{k}^{H} \!\! \left ({\! \sum _{k'=1, k' \neq k}^{K} \! p_{k'} \mathbf h_{k'} \mathbf h_{k'}^{H} \!\!\! +\! \mathbf C \mathbf Q \mathbf C^{H} \!\! +\! \sigma _{r}^{2} \mathbf I_{N_{r}} \! }\right)\! \mathbf w_{k}},\quad \forall k,}\!\! \\{}\tag{10}\end{align*}$$

其中$\mathbf{C}\triangleq\sum_{i=0}^{I}\beta_i\mathbf{A}(\theta_i)+\mathbf{H}_{SI}$表示上行传输受到的干扰，具体来自于目标反射信号，杂波干扰和残余自干扰。下行用户$l$的信干噪比为

$$\begin{equation*} \gamma _{l}^{\text {com,DL}} = \frac {|\mathbf g_{l}^{H} \mathbf v_{l} |^{2}}{\sum _{l'=1,l'\neq l}^{L} |\mathbf g_{l}^{H} \mathbf v_{l'} |^{2} + \mathbf g_{l}^{H} \mathbf V_{0} \mathbf g_{l} + \sigma ^{2}_{l}},\quad \forall l.\quad \tag{11}\end{equation*}$$

优化问题

优化变量集合为$\mathcal{A}=\{\{\mathbf{w}_k\}^K_{k=1},\mathbf{u},\{\mathbf{v}_l\}^L_{l=1},\mathbf{V}_0,\{p_k\ge0\}^K_{k=1}\}$,考虑两个优化问题，即功率最小化和总传输速率最大化，这与ISAC系统的能量效率和频谱效率息息相关。

1.总功率最小化

$$\begin{align*} \mathop{\text {minimize}} \limits _{\mathcal A}&\sum _{l=1}^{L} \| \mathbf v_{l} \|^{2} + \text {Tr}(\mathbf V_{0}) + \sum _{k=1}^{K} p_{k} \\ \text {subject to}&\gamma ^{\text {rad}} \geq \tau ^{\text {rad}}, \\&\gamma _{k}^{\text {com,UL}} \geq \tau _{k}^{\text {com,UL}}, \quad \forall k, \\&\gamma _{l}^{\text {com,DL}} \geq \tau _{l}^{\text {com,DL}}, \quad \forall l, \tag{12}\end{align*}$$

其中$\tau^{rad},\tau^{com,UL},\tau^{com,DL}$分别表示对雷达输出SINR，用户上行SINR,下行用户SINR 的阈值约束。

2.总传输速率最大化

$$\begin{align*} \mathop{\text {maximize}} \limits _{\mathcal A}&\sum _{k=1}^{K} \log _{2}\left ({1 + \gamma _{k}^{\text {com,UL}}}\right) + \sum _{l=1}^{L} \log _{2}\left ({1 + \gamma _{l}^{\text {com,DL}}}\right) \\ \text {subject to}&\gamma ^{\text {rad}} \geq \tau ^{\text {rad}}, \\&\sum _{l=1}^{L} \| \mathbf v_{l} \|^{2} + \text {Tr}(\mathbf V_{0}) \leq P_{\text {max}}, \\&p_{k} \leq P_{k},\quad \forall k. \tag{13}\end{align*}$$