单用户MIMO

确定性MIMO信道容量

​ 对于$N_{Tx}$根发射天线和$N_{Rx}$根接收天线的MIMO系统，时不变窄带无线信道可表示为 $N_{Rx}\times N_{Tx}$的确定性矩阵，对于由$N_{Tx}$个独立符号$x_1,x_2,\cdots,x_{N_{Tx}}$构成的发射符号向量$\mathbf{x}\in\mathbb{C}^{N_{Tx}\times 1}$,接收信号$\mathbf{y}\in\mathbb{C}^{N_{Rx}\times1}$可表示为

$$\mathbf{y} = \sqrt{\frac{E_x}{N_{Tx}}}\mathbf{Hx}+\mathbf{z} \tag{1}$$

其中$\mathbf{z}\in\mathbb{C}^{N_{Rx}\times 1}$​为噪声向量，假设其服从零均值循环对称复高斯(ZMCSCG)分布。确定性信道的容量被定义为

$$C=\underset{f(\mathbf{x})}{max}I(\mathbf{x;y})\text{ bit/channel use} \tag{2}$$

其中$f(\mathbf{x})$是发射信号向量的PDF，通过改变发射信号向量的PDF就可以得到最大的互信息即信道容量。两个随机向量的互信息由微分熵和条件微分熵给出，同时根据噪声与发射信号的独立性，可得

$$\begin{aligned} I(\mathbf{x,y})&=H(\mathbf{y})-H(\mathbf{y|x})\\ &=H(\mathbf{y})-H(\mathbf{z}) \end{aligned} \tag{3}$$

假设噪声服从已知分布，即其微分熵$H(\mathbf{z})$为一常数，则$H(\mathbf{y})$达到最大时实现互信息最大化。考虑$\mathbf{y}$的自相关矩阵

$$\begin{aligned} \mathbf{R}_{yy}&=E\{\mathbf{yy}^H\}=E\left\{\left(\sqrt{\frac{E_x}{N_{Tx}}}\mathbf{Hx+z}\right)\left(\sqrt{\frac{E_x}{N_{Tx}}}\mathbf{x}^H\mathbf{H}^H+\mathbf{z}^H\right)\right\}\\ &=E\left\{\left(\frac{E_x}{N_{Tx}}\mathbf{Hx}\mathbf{x}^H\mathbf{H}^H+\mathbf{zz}^H\right)\right\}\\ &=\frac{E_x}{N_{Tx}}\mathbf{H}E\{\mathbf{xx}^H\}\mathbf{H}^H+E\{\mathbf{zz}^H\}\\ &=\frac{E_x}{N_{Tx}}\mathbf{H}\mathbf{R}_{xx}\mathbf{H}^H+N_0\mathbf{I}_{N_{Rx}} \end{aligned} \tag{4}$$

其中，$E_x$为发射信号能量，$N_0$为加性噪声功率。当给定$\mathbf{y}$的自相关矩阵后,由于相同方差的情况下高斯分布的微分熵最大，该向量每个符号服从复高斯分布且实部与虚部均值为0时，即当$\mathbf{y}$服从ZMCSCG分布时其微分熵最大，从而可知$\mathbf{x}$同样服从ZMCSCG分布，从而$\mathbf{y}$和$\mathbf{z}$的互信息分别为

$$H(\mathbf{y}) = log_2\left\{det(\pi e\mathbf{R}_{yy})\right\}\\ H(\mathbf{z}) = log_2\left\{det(\pi eN_0\mathbf{I}_{N_{Rx}})\right\} \tag{5}$$

从而得到确定性MIMO信道的容量

$$C=\underset{Tr(\mathbf{R}_{xx})=N_{Tx}}{max}log_2\text{det}\left(\mathbf{I_{N_{Rx}}}+\frac{E_x}{N_{Tx}N_0}\mathbf{HR}_{xx}\mathbf{H}^H\right) \tag{6}$$

发射端已知CSI

在发射端已知CSI时，发射端用$\mathbf{V}$预处理发射信号，接收机处用$\mathbf{U}^H$处理接收到的信号，接收机接收到的信号可被表示为

$$\tilde{\mathbf{y}} = \sqrt{\frac{E_x}{N_{Tx}}}\mathbf{U}^H\mathbf{H}\mathbf{V}\mathbf{x}+\mathbf{U}^H\mathbf{z} \tag{7}$$

对信道矩阵进行SVD分解，有$\mathbf{H}=\mathbf{U\Sigma V}^H$,从而接收信号可重新表示为

$$\tilde{\mathbf{y}} = \sqrt{\frac{E_x}{N_{Tx}}} \mathbf{\Sigma}\mathbf{x}+\mathbf{U}^H\mathbf{z} \tag{8}$$

从而等价为r个虚拟的SISO信道

$$\tilde{\mathbf{y}_i} = \sqrt{\frac{E_x}{N_{Tx}}}\sqrt{\lambda_i}\mathbf{x}_i+(\mathbf{U}^H\mathbf{z})_i,i=1,2,\cdots,r \tag{9}$$

其中 $\lambda_i$是$\mathbf{HH}^H$的第i个特征值，如果第i根天线发射功率为 $\gamma_i=E\{|x_i|^2\}$,MIMO信道容量是所有虚拟SISO信道容量之和，即有

$$C=\sum_{i=1}^rC_i(\gamma_i)=\sum_{i=1}^{r}log_2\left(1+\frac{E_x\gamma_i}{N_{Tx}N_0}\lambda_i\right) \tag{10}$$

其中，$r=min\{N_{T_x},N_{R_x}\}$,可采用注水算法分配功率实现通信容量最大化，该算法的核心思想是给更高SNR的子信道分配更多的功率。我们可形成如下功率分配问题

$$C=\underset{\{\gamma_i\}}{max}\sum_{i=1}^{r}log_2\left(1+\frac{E_x\gamma_i}{N_{Tx}N_0}\lambda_i\right)\\ s.t.\sum_{i=1}^{r}\gamma_i=N_{T_x} \tag{11}$$

这是一个等式约束问题，我们可利用拉格朗日乘子法求解，得到问题的解为

$$\gamma_i^{opt}=max(0,\mu-\frac{N_{T_x}N_0}{E_x\lambda_i})\\ \sum_{i=1}^{r}\gamma_i^{opt}=N_{T_x}$$

可利用总功率约束求出从常数$\mu$,即

$$r\mu-\sum_{i=1}^{r}\frac{N_{T_x}N_0}{E_x\lambda_i}=N_{T_x}\\ \mu=\frac{N_{T_x}+\sum_{i=1}^{r}\frac{N_{T_x}N_0}{E_x\lambda_i}}{r} \tag{12}$$

发射端未知CSI

发射机未知CSI时，在所有发射天线上平均分配发射功率，发射信号向量$\mathbf{x}$的自相关函数可表示为

$$\mathbf{R}_{xx}=\mathbf{I}_{N_{T_x}} \tag{13}$$

信道容量可以表示为

$$C=log_2\text{det}\left(\mathbf{I_{N_{Rx}}}+\frac{E_x}{N_{Tx}N_0}\mathbf{H}\mathbf{H}^H\right) \tag{14}$$

利用特征值分解，即$\mathbf{HH}^H=\mathbf{Q\Lambda Q}^H$和恒等式$det(\mathbf{I}_m+\mathbf{AB})=det(\mathbf{I}_n+\mathbf{BA})$,其中$\mathbf{A}\in\mathbb{C}^{m\times n}$,$\mathbf{B}\in\mathbb{C}^{n\times m}$.式14的信道容量可以被表示为

$$C=log_2\text{det}\left(\mathbf{I_{N_{Rx}}}+\frac{E_x}{N_{Tx}N_0}\mathbf{\Lambda}\right)\\=\sum_{i=1}^rlog_2\left(1+\frac{E_x}{N_{Tx}N_0}\lambda_i\right) \tag{15}$$

其中$r$为信道矩阵$\mathbf{H}$的秩，即MIMO信道转化为$r$个虚拟的SISO信道。若总的信道增益不变，当信道正交时MIMO信道的容量最大。