基础算法学习（一）__几种排序：选择、插入、冒泡和快排

     团队新成员要开始算法培训了，去年这个时候我也是在学数据结构，也了解了一些算法。但是那个时候学数据结构和算法就是打打酱油而已，掌握的不好，这次正好趁这个机会跟着新人一起学学。不求自己能有多大的突破，一步一步坚实地走下去就够。

    今天的任务就是几种排序方法：选择、插入、冒泡和快排，学习的教材是Matrix67的blog上介绍的从零开始学算法：十种排序算法介绍(上)和《算法导论》。

    先开始选择排序：

    对n个数进行选择排序，先另开一个空间用于存放排好的数sort，再开一个temp，用于存放当前最小值。考虑最坏的情况，这n个数是从大到小排列的，而我们需要从小到大的顺序。选择第一个数时，先看着n个数里面的第一个，这个数我们称之为n_1。n_1是当前最大的数，它与剩下n-1个数进行比较，第一次比较n_1和n_2大，n_2小，则将n_2赋给temp。之后，再将n_2与n_3比较，n_3小，则将n_3赋给temp。一直到temp里存放的是n_n-1时，再比较n_n-1和n_n，此时仍是n_n小，则将n_n赋给temp。此时已进行n-1次比较，n-1次赋值。这时，再将temp的值赋给我们sort的第一个。第一轮的排序结束，n-1次比较，n次赋值。同理，在第i轮排序时，n-i次比较，n-i+1次赋值。一共我们会进行n轮比较，则总的比较次数n(n-1)/2，赋值次数n(n+1)/2。

   插入排序：

    同样的，我们假设最坏的情况，n个数从大到小排好的，我们需要从小到大的排序。第i轮时，这n个数的情况是 n_i-1…n_1  n_i    n_1… n_n ，前i-1个数是按照从小到大。此时，我们看n_i，将n_i与前面的i个数比较，最坏的情况，n_i比前面的i-1个数都要小。此时，我们比较了i-1次，还需要将n_i放在最首位。步骤是：n_i赋给temp，前i-1个数往后移（i-1次赋值），再将temp里面的值赋到首位，一共有i+1次赋值。即是说，第i轮排序时，我们比较了i-1次，复制了i+1次。所以，总共的，我们比较了n(n-1)/2次，赋值了 n(n+3)/2次。

    冒泡排序：

    依然是最坏的情况，n个数从大到小排好的，我们需要从小到大的排序。第一个数n_1首先与n_2比较，n-1大，我们进行交换，比较一次，赋值三次。此轮，我们比较了n-1次，赋值3(n-1)次。在第i轮说，最后的i-1个数已经按照从小到大顺序排列，因为我们每轮都是将最大的一个排在后面。因此这轮我们只需比较前n-i+1个数找出最大的，并将其放在n-i+1的位置。此轮需比较n-i次，赋值3(n-i)次。总共我们需要比较n(n-1)/2次，赋值 3n(n-1)/2。

    以上三种排序方法的时间复杂度都是O(n^2)。

    快速排序：

    快速排序的学习先是看的Matrix67的blog，看得我有点困惑--!于是转向了算法导论，只是看了算法导论中关于快速排序的内容，就感受到了算法导论的强大..严格的公式推理与证明，有理有据，很有说服力。下面写一下自己学习快速排序的收获。

    快速排序的思路不难，运用了递归的思想。假设我们要对数组A[p…r]排序，就将它划分为A[p…q-1]和A[q+1…r]两个数组，使得A[p…q-1]里面的元素都小于A[q]，A[q+1…r]里面的元素都大于A[q]。下标q在这个划分过程中被计算出，也就排在所有比他小的元素的后面。之后再进行递归调用快速排序，对子数组A[p…q-1]和A[q+1…r]排序。

      划分的过程参考算法导论的写法。PARTITION过程，它对子数组A[p…r]进行就地重排：

     PARTITION(A,p,r)

1    x←A[r]

2    i←p-1

3    for j←p to r-1

4        if(A[j]<=x)

5             i←i+1;   

6             A[i]↔A[j];//保证i指向的是比A[x]小的元素的尾

7    A[i+1]↔x           //将x移到比他大和比他小的元素中间

8    return i+1;        //返回此次排序后q的位置

     以上结论的证明这里不写，算法导论上有很详细的过程。

•      快速排序的复杂度也是一个很有意思的东西。我们考虑两种情况，最坏和平均。
•      最坏的情况下，我们每次选择的主元(pivot element，被比较的数)，都是当前要比较序列里最大或小的数。那么这种情况下的一共要比较的次数就为1+2+3+…+n-1，也就是n(n-1)/2，和上面三种排序方法在时间复杂度上就没啥区别了。但是一般来说，我们的RP也不会老那么低，总是遇到那么多些纠结的情况，平均情况下的时间复杂度也就也必要算一算了。
•     在算平均情况下的时间复杂度前，我们有必要先明确一点：快排中，我们比较的次数肯定比交换的次数多，因此这里仅讨论比较的次数。那么在什么情况下两个数会进行比较呢？为了从数学的角度去求解这个问题，我们先定义：Z(ij)为A[i]到A[j]之间所有的元素(包括A[i],A[j])，P(ij)为A[i]和A[j]会进行比较的概率。从上面的比较过程我们可以看出，如果A[i]A[j]进行比较过，那么Z(ij)之间的关键字要么是A[i]，要么是A[j]。如果这个关键字x不是A[i]或者A[j]，那么A[i]A[j]肯定在将这个x作为pivot element的比较中分开了，他们之间就不会再有机会进行互相比较了。举个实例来说，1到10这10个数，我们第一次将6作为pivot element，划分出的两个子数组为{1，2，3，4，5}和{7，8，9，10}。那么4和8就不会再有机会比较了，因为他们已经分别位于两个子数组中了。但是1和6比较过，6和7也比较过。那么Z(ij)之间的关键字是A[i]或A[j]的概率是什么呢？
•      P[ij]=P{Z(ij)之间的关键字是A[i]或A[j]}
             =P{Z(ij)之间的关键字是A[i]}+P{Z(ij)之间的关键字A[j]}
•            =2/(j-i+1)

     那么，整个排序过程的比较次数

E= 

     这个和式的求解此处不再解释。最终的结果就是快排的时间复杂度O(nlgn)。

以上就是我学习的第一课…学完了就去复习下C语言吧，发现自己C语言都忘光了，当初学的时候就没学好