数学-n个互相独立的连续随机变量中第i小的数值期望

6.4.2020 updated：
现在回看了一下当时自己…哎……
整半天原来可以直接调用已有结论……加在文末了……

提出问题

有 $n$ 个互相独立的 $0$ 至 $1$ 之间等概率生成的随机变量，求从小到大排序后第 $i$ 个数的数值期望

一个简化的问题

我们先来求解一个简化的问题：最大值的数值期望是多少？

我们会发现，由于这些变量都是在 $0$ 到 $1$ 之间等概率生成的，所以一个变量小于等于 $x$ 的概率为 $x$（即 $P(x_0\leq x)=x$），则这 $n$ 个数中最大值为 $x$ 的概率为 $x^{n-1}$（其他 $n-1$ 个变量都小于等于 $x$）

再考虑到有 $n$ 个数都有可能成为最大值，所以最后答案还要再乘$\binom n1$（实际上这个组合数应该放在原式的概率函数 $p(x)$ 里的，但为了表达方便，我们将这个组合数提到最外面最后进行计算，后面的运算也是如此）

由于期望的计算公式为

$$E(x)=\sum_{k=1}^{+\infty}x_kp_k$$

套到这题里就是

$$\int_0^1x\cdot x^{n-1}\cdot \mathrm dx=\frac 1{n+1}$$

乘上组合数，得到这个简化问题的答案为 $\frac n{n+1}$

扩展

我们现在求得了最大值（第 $n$ 个数）的数值期望为 $\frac n{n+1}$，同理可以计算出最小数（第 $1$ 个数）的数值期望为 $\frac 1{n+1}$，由期望的线性性大胆猜想第 $i$ 个数的数值期望为 $\frac i{n+1}$

下面来证明这个式子

类比上面求最大值的解法，我们可以很容易地列出我们需要的式子

$$\int_0^1x\cdot x^{i-1}\cdot (1-x)^{n-i}\cdot \mathrm dx=\int_0^1 x^i(1-x)^{n-i}\cdot \mathrm dx$$

（第 $i$ 个数为 $x$ 的概率为前 $i-1$ 个数都小于等于 $x$，后 $n-i$ 个数都大于等于 $x$，则概率为 $x^{i-1}\cdot (1-x)^{n-i}$）

这个式子在最后还要乘一个 $n\cdot \binom {n-1}{i-1}$（$n$ 个数都有可能成为第 $i$ 个数，还要再选出小于等于 $x$ 的 $i-1$ 个数）

我们列出了式子，但这个式子并不像 $x^n$ 这样好积分；为此，我们考虑分部积分：

$$\int_a^b uv'\mathrm dx=uv|_a^b-\int_a^b vu'\mathrm dx$$

积分

明确目标，我们要求

$$\int_0^1 x^i(1-x)^{n-i}\cdot \mathrm dx$$

代 $\begin{cases}u=(1-x)^{n-i}\\v'=x^i\end{cases}$

则原式即为

$$\int_0^1uv'\cdot \mathrm dx=(uv)\big|_0^1-\int_0^1 u'v\cdot \mathrm dx$$

由于 $uv$ 在 $x=0$ 或 $1$ 时都为零，则只需要考虑后面的式子即可：

$$-\int_0^1 u'v\cdot \mathrm dx \\ =\int_0^1 (n-i)(1-x)^{n-i-1}\frac 1{i+1}x^{i+1}\cdot \mathrm dx \\ =\frac {n-i}{i+1}\cdot \int_0^1x^{i+1}(1-x)^{n-i-1}\cdot \mathrm dx$$

数列

发现这个式子和原式长得很像，可以对比一下：

$$\int_0^1 x^i\cdot (1-x)^{n-i}\cdot dx\\ \int_0^1x^{i+1}(1-x)^{n-i-1}\cdot dx$$

设 $a_i=\int_0^1 x^i(1-x)^{n-i}\cdot \mathrm dx$，则可以得到一个有趣的递推式 $a_i=\frac {n-i}{i+1}\cdot a_{i+1}$，而边界条件即为一开始证明的式子 $a_n=\frac n{n+1}$

从而可以得到 $a_i$ 的通项公式 $a_i=\frac {i!(n-i)!}{(n+1)!}$

所以前面那一长溜的积分式，可以化简为 $\frac {i!(n-i)!}{(n+1)!}$

最后不要忘记之前提取出来的组合系数 $n\cdot \binom {n-1}{i-1}$

解得的答案为 $\frac {i!(n-i)!}{(n+1)!}\cdot n\cdot \binom {n-1}{i-1}=\frac i{n+1}$

猜想得证

结论

有 $n$ 个互相独立的 $0$ 至 $1$ 之间等概率生成的随机变量，求从小到大排序后第 $i$ 个数的数值期望为 $\frac i{n+1}$

可以推广，若变量的生成范围为 $[l,r]$，则第 $i$ 小数的数值期望为 $l+\frac {i\cdot(r-l)}{n+1}$

最近加了友链的一位同学知道一个比较简单的组合解释，果真还是老了啊

updated：$\Gamma$ 函数与 $B$ 函数

上面整这半天实际上可以用已有结论：

引入 $Gamma$ 函数与 $Beta$ 函数：

$$\Gamma(x)=\int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}dt \\ B(x,y)=\int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt$$

有几个结论：

• $\Gamma(1)=1$ 且 $\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)$，故 $\Gamma(x+1)=x!(x\in \mathbb Z)$
• $B(x,y)=\frac {\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$

然后考虑到之前关键求的是

$$\int_0^1 x^i(1-x)^{n-i}\cdot \mathrm dx=B(i+1,n-i+1)$$

然后直接套结论就好了……还是数学没学好的说……（不过问了好几位dalao都没人提这玩意TAT）