数学-n个互相独立的连续随机变量中第i小的数值期望

6.4.2020 updated：
现在回看了一下当时自己…哎……
整半天原来可以直接调用已有结论……加在文末了……

提出问题

有 \(n\) 个互相独立的 \(0\) 至 \(1\) 之间等概率生成的随机变量，求从小到大排序后第 \(i\) 个数的数值期望

一个简化的问题

我们先来求解一个简化的问题：最大值的数值期望是多少？

我们会发现，由于这些变量都是在 \(0\) 到 \(1\) 之间等概率生成的，所以一个变量小于等于 \(x\) 的概率为 \(x\)（即 \(P(x_0\leq x)=x\)），则这 \(n\) 个数中最大值为 \(x\) 的概率为 \(x^{n-1}\)（其他 \(n-1\) 个变量都小于等于 \(x\)）

再考虑到有 \(n\) 个数都有可能成为最大值，所以最后答案还要再乘\(\binom n1\)（实际上这个组合数应该放在原式的概率函数 \(p(x)\) 里的，但为了表达方便，我们将这个组合数提到最外面最后进行计算，后面的运算也是如此）

由于期望的计算公式为

\[E(x)=\sum_{k=1}^{+\infty}x_kp_k \]

套到这题里就是

\[\int_0^1x\cdot x^{n-1}\cdot \mathrm dx=\frac 1{n+1} \]

乘上组合数，得到这个简化问题的答案为 \(\frac n{n+1}\)

扩展

我们现在求得了最大值（第 \(n\) 个数）的数值期望为 \(\frac n{n+1}\)，同理可以计算出最小数（第 \(1\) 个数）的数值期望为 \(\frac 1{n+1}\)，由期望的线性性大胆猜想第 \(i\) 个数的数值期望为 \(\frac i{n+1}\)

下面来证明这个式子

类比上面求最大值的解法，我们可以很容易地列出我们需要的式子

\[\int_0^1x\cdot x^{i-1}\cdot (1-x)^{n-i}\cdot \mathrm dx=\int_0^1 x^i(1-x)^{n-i}\cdot \mathrm dx \]

（第 \(i\) 个数为 \(x\) 的概率为前 \(i-1\) 个数都小于等于 \(x\)，后 \(n-i\) 个数都大于等于 \(x\)，则概率为 \(x^{i-1}\cdot (1-x)^{n-i}\)）

这个式子在最后还要乘一个 \(n\cdot \binom {n-1}{i-1}\)（\(n\) 个数都有可能成为第 \(i\) 个数，还要再选出小于等于 \(x\) 的 \(i-1\) 个数）

我们列出了式子，但这个式子并不像 \(x^n\) 这样好积分；为此，我们考虑分部积分：

\[\int_a^b uv'\mathrm dx=uv|_a^b-\int_a^b vu'\mathrm dx \]

积分

明确目标，我们要求

\[\int_0^1 x^i(1-x)^{n-i}\cdot \mathrm dx \]

代 \(\begin{cases}u=(1-x)^{n-i}\\v'=x^i\end{cases}\)

则原式即为

\[\int_0^1uv'\cdot \mathrm dx=(uv)\big|_0^1-\int_0^1 u'v\cdot \mathrm dx \]

由于 \(uv\) 在 \(x=0\) 或 \(1\) 时都为零，则只需要考虑后面的式子即可：

\[-\int_0^1 u'v\cdot \mathrm dx \\ =\int_0^1 (n-i)(1-x)^{n-i-1}\frac 1{i+1}x^{i+1}\cdot \mathrm dx \\ =\frac {n-i}{i+1}\cdot \int_0^1x^{i+1}(1-x)^{n-i-1}\cdot \mathrm dx\]

数列

发现这个式子和原式长得很像，可以对比一下：

\[\int_0^1 x^i\cdot (1-x)^{n-i}\cdot dx\\ \int_0^1x^{i+1}(1-x)^{n-i-1}\cdot dx \]

设 \(a_i=\int_0^1 x^i(1-x)^{n-i}\cdot \mathrm dx\)，则可以得到一个有趣的递推式 \(a_i=\frac {n-i}{i+1}\cdot a_{i+1}\)，而边界条件即为一开始证明的式子 \(a_n=\frac n{n+1}\)

从而可以得到 \(a_i\) 的通项公式 \(a_i=\frac {i!(n-i)!}{(n+1)!}\)

所以前面那一长溜的积分式，可以化简为 \(\frac {i!(n-i)!}{(n+1)!}\)

最后不要忘记之前提取出来的组合系数 \(n\cdot \binom {n-1}{i-1}\)

解得的答案为 \(\frac {i!(n-i)!}{(n+1)!}\cdot n\cdot \binom {n-1}{i-1}=\frac i{n+1}\)

猜想得证

结论

有 \(n\) 个互相独立的 \(0\) 至 \(1\) 之间等概率生成的随机变量，求从小到大排序后第 \(i\) 个数的数值期望为 \(\frac i{n+1}\)

可以推广，若变量的生成范围为 \([l,r]\)，则第 \(i\) 小数的数值期望为 \(l+\frac {i\cdot(r-l)}{n+1}\)

最近加了友链的一位同学知道一个比较简单的组合解释，果真还是老了啊

updated：\(\Gamma\) 函数与 \(B\) 函数

上面整这半天实际上可以用已有结论：

引入 \(Gamma\) 函数与 \(Beta\) 函数：

\[\Gamma(x)=\int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}dt \\ B(x,y)=\int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt \]

有几个结论：

• \(\Gamma(1)=1\) 且 \(\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)\)，故 \(\Gamma(x+1)=x!(x\in \mathbb Z)\)
• \(B(x,y)=\frac {\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}\)

然后考虑到之前关键求的是

\[\int_0^1 x^i(1-x)^{n-i}\cdot \mathrm dx=B(i+1,n-i+1) \]

然后直接套结论就好了……还是数学没学好的说……（不过问了好几位dalao都没人提这玩意TAT）