题解-TIOJ1905 最理想的身高差
Problem
题目大意：求区间最小差值
序列长度\(1e5\)，询问\(2e5\)
Solution
总体思路就是找出所有可能作为答案的点对，用资料结构_(:зゝ∠)_维护，然后询问
至于如何找出所有可能作为答案的点对，我们先考虑左边比右边小的点对，考虑枚举点对左端点，那么可能作为答案的右端点一定是递减的
其次，若当前左端点为\(l\)，值为\(x\)，从左至右的右端点\(r\)的值依次为\(\{v_1,v_2,\cdots ,v_k\}\)，则一定存在\(\frac 12(x+v_i)> v_{i+1}\)，因为如果\(\frac 12(x+v_i)\leq v_{i+1}\)，则在区间\([l,r_{i+1}]\)中，点对\((l,r_i)\)或\((r_i,r_{i+1})\)一定会更优
所以对于一个固定的左端点，\(v_i-x\)每次会折半，所以右端点的数量不超过\(log_2(10^9)\approx 30\)个
对于左边比右边大的点对处理也如法炮制，即对于整个区间来说，可能作为答案的点对数量不超过\(60n\)
如何快速查找在区间\([r_i,n]\)中数值范围在\([x,\frac 12(x+r_i)]\)中的最靠左的点呢
考虑对所有点权离散化后对点权建主席树，在每棵线段树中维护的是位置集合，即如果要查找上面的东西，就只要在第\(x\)棵主席树到第\(\frac 12(x+r_i)\)棵主席树间查找区间\([r_i,n]\)的最左边非零节点
我们成功找到了所有可能为答案的点对，现在来回答询问
对序列维护一棵线段树，考虑将所有点对包括询问按照右端点排序，从左往右枚举右端点，如果是答案点对则在线段树中修改点对左端点的值，如果是询问，则查询区间\([l,r]\)的最小值
预处理复杂度\(O(n\log_2^2n)\)，询问复杂度\(O((n\log n+m)\log n)\)
总体复杂度\(O(n\log_2^2n+m\log n)\)，其中一个\(\log\)基本跑不满，时限也开到了\(6s\)，实测一个点最慢\(1.3s\)，所以不用担心常数问题
tips：
- 预处理中可以不用主席树，改用枚举右端点可以使用单调栈加线段树
- 最后如果用主席树维护的话可以在线询问
- 有一个\(O((n+m)\sqrt n)\)的分块做法，但常数很大，实测一个点最慢\(5s\)
况且这里地方太小，写不下
Code
代码又臭又长，如果不想写这么长，逆序后线段树直接玩即可
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rg register
template <typename _Tp> inline _Tp read(_Tp&x){
char c11=getchar();x=0;
while(!isdigit(c11))c11=getchar();
while(isdigit(c11))x=x*10+c11-'0',c11=getchar();
return x;
}
template <typename _Tp> inline void cmax(_Tp&A,_Tp B) {A=(A>B?A:B);}
template <typename _Tp> inline void cmin(_Tp&A,_Tp B) {A=(A<B?A:B);}
const int N=101000,M=1001000,ae=18;
struct Edge{int v,nxt,w;}a[N*ae+M];
int head[N],Head[N];
int v[N],b[N],Ans[M];
int n,m,_;
inline void add(int u,int v,int w){a[++_].v=v,a[_].w=w,a[_].nxt=head[u],head[u]=_;}
inline void Add(int u,int v,int w){a[++_].v=v,a[_].w=w,a[_].nxt=Head[u],Head[u]=_;}
struct tmp_{
int ps,vl;
friend inline int operator < (const tmp_&A,const tmp_&B) {return A.vl<B.vl;}
}tnd[N];
struct node{int l,r,v;}seg[N*ae];
int rt[N],cnt=0;
inline void Update(int l,int r,int&x,int ps){
seg[++cnt]=seg[x];x=cnt,++seg[x].v;
if(l==r)return ;int mid(l+r>>1);
if(ps<=mid)Update(l,mid,seg[x].l,ps);
else Update(mid+1,r,seg[x].r,ps);
return ;
}
inline int Query(int l,int r,int x1,int x2,int L,int R){
if(seg[x2].v-seg[x1].v==0)return 0;
if(l==r)return l;int mid(l+r>>1),tmp;
if(L<=l&&r<=R){
int t=seg[seg[x2].l].v-seg[seg[x1].l].v;
if(t)return Query(l,mid,seg[x1].l,seg[x2].l,L,R);
else return Query(mid+1,r,seg[x1].r,seg[x2].r,L,R);
}
if(L<=mid)if(tmp=Query(l,mid,seg[x1].l,seg[x2].l,L,R))return tmp;
if(mid<R)if(tmp=Query(mid+1,r,seg[x1].r,seg[x2].r,L,R))return tmp;
return 0;
}
int val[N<<2];
inline void build(int l,int r,int x){
val[x]=0x3f3f3f3f;
if(l==r)return ;int mid(l+r>>1);
build(l,mid,x<<1);build(mid+1,r,x<<1|1);
}
inline void update(int l,int r,int x,int ps,int alpha){
cmin(val[x],alpha);
if(l==r)return ;
int mid(l+r>>1);
if(ps<=mid)update(l,mid,x<<1,ps,alpha);
else update(mid+1,r,x<<1|1,ps,alpha);
}
inline int query(int l,int r,int x,int L,int R){
if(L<=l&&r<=R)return val[x];
int mid(l+r>>1),res(0x3f3f3f3f);
if(L<=mid)cmin(res,query(l,mid,x<<1,L,R));
if(mid<R)cmin(res,query(mid+1,r,x<<1|1,L,R));
return res;
}
int dl;
void init();void mainwork();
void print();void prework();
int main(){
init();
prework();
mainwork();
print();
return 0;
}
void mainwork(){
read(m);
for(rg int i=1,x,y;i<=m;++i){
read(x),read(y);
Add(y,x,i);
}
build(1,n,1);
for(rg int x=1;x<=n;++x){
for(rg int i=head[x];i;i=a[i].nxt)
update(1,n,1,a[i].v,a[i].w);
for(rg int i=Head[x];i;i=a[i].nxt)
Ans[a[i].w]=query(1,n,1,a[i].v,x);
}return ;
}
void prework(){
for(rg int i=1;i<=n;++i)tnd[i].ps=i,tnd[i].vl=v[i];
sort(tnd+1,tnd+n+1);
for(rg int i=1;i<=n;++i){
if(!rt[tnd[i].vl])rt[tnd[i].vl]=rt[tnd[i].vl-1];
Update(1,n,rt[tnd[i].vl],tnd[i].ps);
}
int las,l,r;
for(rg int i=1;i^n;++i){
las=i;
while(las){
l=v[i]-1;
r=las==i?dl:lower_bound(b+1,b+dl+1,b[v[i]]+b[v[las]]>>1)-b;
if(las^i&&(b[r]<<1)>=b[v[i]]+b[v[las]])--r;if(l>r)break;
las=Query(1,n,rt[l],rt[r],las+1,n);
if(las)add(las,i,b[v[las]]-b[v[i]]);
}
}
for(rg int i=1;i^n;++i){
las=i;
while(las){
r=v[i];
l=las==i?1:lower_bound(b+1,b+dl+1,b[v[i]]+b[v[las]]>>1)-b;
if(las^i&&(b[l]<<1)<=b[v[i]]+b[v[las]])++l;if(l>r)break;
las=Query(1,n,rt[l-1],rt[r-1],las+1,n);
if(las)add(las,i,b[v[i]]-b[v[las]]);
}
}
return ;
}
void init(){
read(n);
for(rg int i=1;i<=n;++i)b[i]=read(v[i]);
sort(b+1,b+n+1);dl=unique(b+1,b+n+1)-b-1;
for(rg int i=1;i<=n;++i)v[i]=lower_bound(b+1,b+dl+1,v[i])-b;
return ;
}
void print(){
for(rg int i=1;i<=m;++i)
printf("%d\n",Ans[i]);
return ;
}
