其他-几道物理题
题目
一个均匀绳子,长度为\(L\),质量为\(m\),下端刚好接触一个天平。现在开始自由下落。当天平上绳子的长度恰好为\(x\)时,求天平这时的读数
解法
\(\frac 12gt^2=x\Leftrightarrow t=\sqrt {\frac {2x}g}\)
\(v=gt=\sqrt {2gx}\)
\(F\Delta t=\Delta mv\Leftrightarrow F=\frac {\Delta mv}{\Delta t}\)
对于式子\(\frac {\Delta m}{\Delta t}\),有两种解法:
①我:可以将其视作一种速度,对于当前极短时间内的速度\(v\)与以这种速度遍历整条绳子的时间\(T=\frac Lv\),有\(\frac {\Delta m}{\Delta t}=\frac mT\)
②boshi:\(\Delta m=v\cdot \Delta t \cdot \frac xL\cdot m\),上下消元即可
最后各方式子汇合可得\(F=\frac {2gx}L\),再算上原本在天平上的重量,最终答案为\(\frac {3gx}L\)
题目
一个无穷网格,每条线段的电阻为 1 欧,求相邻两点之间的等效电阻的大小。
解法
假设一个大小为\(1A\)的电流从起点处流入,从各个无穷远处流出。由对称性,有\(0.25A\)的电流将会流过两点之间的线段。现在,再假设一个大小为\(1A\)的电流从各个无穷远处流入,从终点流出。由对称性,两点之间的线段仍然有\(0.25A\)的电流。现在,把两种情况叠加在一起看,大小为\(1A\)的电流从起点进去从终点出来,那么,两点间的线段就有\(0.5A\)的电流,电压为\(0.5A\cdot 1Ω=0.5V\),等效电阻为\(\frac {0.5V}{1A}=0.5Ω\)
题目
把大米扛起来往秤上倒,大米是以\(q\)的速度匀速流出。大米下落的高度是\(h\)。B 君要买质量为\(m\)的米。卖米的大爷看到秤的度数显示为\(m\)的时候,立刻停止了倒米。空中的米继续下落。问 B 君亏了还是卖米的大爷亏了。
解法
称量偏差:\(m=\frac Fg=\frac {\Delta mv}{\Delta tg}=q\sqrt {\frac {2h}g}\)
空中剩余:\(m=tq=\sqrt{\frac{2h}g}q\)
所以谁也没亏
题目
将一个硬币抛起来,如果立起来的可能性为\(\frac 13\),求硬币半径与厚度之间的关系
解法
网上\(Matrix67\)的解法是在二维平面意义下的错误解法,但为我们在三维意义下的正解提供了思路
首先二维平面意义下的解法是考虑矩形外接圆,再考虑弧长,如图
其中我们假设二维意义下这个硬币以圆的各个角度落下的概率一样,则只有落在\(\overset{\frown}{CE}\)与\(\overset{\frown}{DF}\)才会立起,依题意,这两段弧占整个圆周的\(1\over 3\),即\(∠DAF=60°\),则\(∠DEF=30°\),\(\frac {EF}{DF}=\sqrt 3\)
但上面这种解法是错的,因为考虑三维意义下,因为三维意义下,硬币从三维空间内的任意一个方向都有可能,所以我们需要考虑球的情况。相应的,我们需要求球冠的面积,对应上面那副图,我们将其想象成球的一个截面,不能立起的情况就是落在两边的球冠内
我们考虑球冠面积等于球面积的\(\frac 23\),即\(2\cdot 2\pi rh=\frac 23 \cdot 4\pi r^2\),得\(h=\frac 23 r\)
球冠的百度百科中还有明显的错误,已提出质疑,这个词条还是什么“专家评审”,这么简单的错误都看不出
则圆柱高的一半即\(AG=\frac 13r\),\(EG=\frac {2\sqrt 2}3r\)
则硬币直径与厚度比为