LeetCode 周赛 334，在算法的世界里反复横跳

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大家好，我是小彭。

今天是 LeetCode 第 334 场周赛，你参加了吗？这场周赛考察范围比较基础，整体难度比较平均，第一题难度偏高，第四题需要我们在算法里实现 “反复横跳”，非常有意思。

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2574. 左右元素和的差值（Easy）

题目地址

https://leetcode.cn/problems/left-and-right-sum-differences/

题目描述

给你一个下标从 0 开始的整数数组 nums ，请你找出一个下标从 0 开始的整数数组 answer ，其中：

• answer.length == nums.length
• answer[i] = |leftSum[i] - rightSum[i]|

其中：

• leftSum[i] 是数组 nums 中下标 i 左侧元素之和。如果不存在对应的元素，leftSum[i] = 0 。
• rightSum[i] 是数组 nums 中下标 i 右侧元素之和。如果不存在对应的元素，rightSum[i] = 0 。

返回数组 answer 。

题解

简单模拟题，使用两个变量记录前后缀和。

class Solution {
    fun leftRigthDifference(nums: IntArray): IntArray {
        var preSum = 0
        var sufSum = nums.sum()
        val n = nums.size
        val result = IntArray(n)
        for (index in nums.indices) {
            sufSum -= nums[index]
            result[index] = Math.abs(preSum - sufSum)
            preSum += nums[index]
        }
        return result
    }
}

复杂度分析：

• 时间复杂度：$O(n)$。
• 空间复杂度：$O(1)$，不考虑结果数组。

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2575. 找出字符串的可整除数组（Medium）

题目地址

https://leetcode.cn/problems/find-the-divisibility-array-of-a-string/

题目描述

给你一个下标从 0 开始的字符串 word ，长度为 n ，由从 0 到 9 的数字组成。另给你一个正整数 m 。

word 的 可整除数组 div  是一个长度为 n 的整数数组，并满足：

• 如果 word[0,...,i] 所表示的 数值 能被 m 整除，div[i] = 1
• 否则，div[i] = 0

返回 word 的可整除数组。

题解

这道题主要靠大数处理。

将前缀字符串 [0, i] 转换为有 2 种方式：

• 1、使用 String#substring(0, i + 1) 裁剪子串，再转换为数字；
• 2、使用 前缀 * 10 + word[i] 逐位计算。

但是，这 2 种方式在大数 case 中会遇到整型溢出变为负数，导致判断出错的情况，我们想办法保证加法运算不会整型溢出。我们发现： 在处理完 [i - 1] 位置后，不必记录 [0, i-1] 的整段前缀，而仅需要记录前缀对 m 的取模结果。

例如当 m 为 3 时，“11 * 10 + 1 = 111” 与 “(11 % 3) * 10 + 1 = 21” 都能够对 3 整除。也可以这样理解：前缀中能被 m 整除的加法因子在后续运算中乘以 10 后依然能够被 m 整数，所以这部分加法因子应该尽早消掉。

另外还有一个细节：由于 m 的最大值是 $10^9$，前缀的取模结果的最大值为 $10^9 - 1$，而当前位置的最大值是 9，加法后依然会溢出，因此我们要用 Long 记录当前位置。

class Solution {
    fun divisibilityArray(word: String, m: Int): IntArray {
        val n = word.length
        val div = IntArray(n)
        var num = 0L
        for (index in word.indices) {
            num = num * 10 + (word[index] - '0')
            num %= m
            if (num == 0L) div[index] = 1
        }
        return div
    }
}

复杂度分析：

• 时间复杂度：$O(n)$。
• 空间复杂度：$O(1)$，不考虑结果数组。

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2576. 求出最多标记下标（Medium）

题目地址

https://leetcode.cn/problems/find-the-maximum-number-of-marked-indices/

题目描述

给你一个下标从 0 开始的整数数组 nums 。

一开始，所有下标都没有被标记。你可以执行以下操作任意次：

• 选择两个 互不相同且未标记 的下标 i 和 j ，满足 2 * nums[i] <= nums[j] ，标记下标 i 和 j 。

请你执行上述操作任意次，返回 nums 中最多可以标记的下标数目。

题解（排序 + 贪心 + 双指针）

这道题的难度是找到贪心规律。

题目要求：选择两个互不相同且未标记的下标 i 和 j ，满足 2 * nums[i] <= nums[j] ，标记下标 i 和 j 。我们发现题目并不关心 [i] 和 [j] 的选择顺序，所以对排序不会影响问题结果，而且排序能够更方便地比较元素大小，因此题目的框架应该是往 排序 + [贪心 / 双指针 / 二分 / DP] 的思路思考。

比赛过程中的思考过程记录下来：

• 尝试 1 - 排序 + 贪心双指针：nums[i] 优先使用最小值，nums[j] 优先使用最大值，错误用例：[1 2 3 6]；
• 尝试 2 - 排序 + 贪心：nums[i] 优先使用最小值，nums[j] 使用大于 nums[i] 的最小值，错误用例：[1 2 4 6]；
• 尝试 3- 排序 + 贪心：从后往前遍历，nums[i] 优先使用较大值，nums[j] 使用大于 nums[i] 的最小值，错误用例：[2 3 4 8]。

陷入僵局……

开始转换思路：能否将数组拆分为两部分，作为 nums[i] 的分为一组，作为 nums[j] 的分为一组。 例如，在用例 [1 2 | 3 6] 和 [1 2 | 4 6] 和 [2 3 | 4 8]中，将数组的前部分作为 nums[i] 而后半部分作为 nums[j] 时，可以得到最优解，至此发现贪心规律。

设数组的长度为 n，最大匹配对数为 k。

• 贪心规律 1：从小到大排序后，使用数组的左半部分作为 nums[i] 且使用数组的右半部分作为 nums[j] 总能取到最优解。反之，如果使用右半部分的某个数 nums[t] 作为 nums[i]，相当于占用了一个较大的数，不利于后续 nums[i] 寻找配对。

将数组拆分为两部分后：

• 贪心规律 2：从小到大排序后，当固定 nums[i] 时，nums[j] 越小越好，否则会占用一个较大的位置，不利于后续 nums[i] 寻找配对。因此最优解一定是使用左半部分的最小值与右半部分的最小值配对。

可以使用双指针求解：

class Solution {
    fun maxNumOfMarkedIndices(nums: IntArray): Int {
        nums.sort()
        val n = nums.size
        var count = 0
        var j = (n + 1) / 2
        outer@ for (i in 0 until n / 2) {
            while (j < n) {
                if (nums[i] * 2 <= nums[j++]) {
                    count += 2
                    continue@outer
                }
            }
        }
        return count
    }
}

简化写法：

class Solution {
    fun maxNumOfMarkedIndices(nums: IntArray): Int {
        nums.sort()
        val n = nums.size
        var i = 0
        for (j in (n + 1) / 2 until n) {
            if (2 * nums[i] <= nums[j]) i++
        }
        return i * 2
    }
}

复杂度分析：

• 时间复杂度：$O(nlgn + n)$ 其中 $n$ 为 $nums$ 数组长度，排序时间 $O(nlgn)$，双指针遍历时间 $O(n)$；
• 空间复杂度：$O(lgn)$ 排序递归栈空间。

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2577. 在网格图中访问一个格子的最少时间（Hard）

题目地址

https://leetcode.cn/problems/minimum-time-to-visit-a-cell-in-a-grid/

题目描述

给你一个 m x n 的矩阵 grid ，每个元素都为 非负 整数，其中 grid[row][col] 表示可以访问格子 (row, col) 的 最早 时间。也就是说当你访问格子 (row, col) 时，最少已经经过的时间为 grid[row][col] 。

你从 最左上角 出发，出发时刻为 0 ，你必须一直移动到上下左右相邻四个格子中的 任意 一个格子（即不能停留在格子上）。每次移动都需要花费 1 单位时间。

请你返回 最早 到达右下角格子的时间，如果你无法到达右下角的格子，请你返回 -1 。

前置知识

这道题是单源正权最短路的衍生问题，先回顾以一下类似的最短路问题解决方案：

• Dijkstra 算法（单源正权最短路）：
  • 本质上是贪心 + BFS；
  • 负权边会破坏贪心策略的选择，无法处理含负权问题；
  • 稀疏图小顶堆的写法更优，稠密图朴素写法更优。
• Floyd 算法（多源汇正权最短路）
• Bellman Ford 算法（单源负权最短路）
• SPFA 算法（单源负权最短路）

这道题是求从一个源点到目标点的最短路径，并且这条路径上没有负权值，符合 Dijkstra 算法的应用场景。

Dijkstra 算法的本质是贪心 + BFS，我们需要将所有节点分为 2 类，在每一轮迭代中，我们从 “候选集” 中选择距离起点最短路长度最小的节点，由于该点不存在更优解，所以可以用该点来 “松弛” 相邻节点。

• 1、确定集：已确定（从起点开始）到当前节点最短路径的节点；
• 2、候选集：未确定（从起点开始）到当前节点最短路径的节点。

现在，我们分析在题目约束下，如何将原问题转换为 Dijkstra 最短路问题。

题解一（朴素 Dijkstra 算法）

我们定义 dis[i][j] 表示到达 (i, j) 的最短时间，根据题目约束 “grid[row][col]表示可以访问格子 (row, col) 最早时间” 可知，dis[i][j] 的最小值不会低于 grid[i][j]。

现在需要思考如何推导出递推关系：

假设已经确定到达位置 (i, j) 的最短时间是 time，那么相邻位置 (x, y) 的最短时间为：

• 如果 time + 1 ≥ grid[x][y]，那么不需要等待就可以进入，进入 (x, y) 的最短时间就是 time + 1；
• 如果 time + 1 < grid[x][y]，那么必须通过等待消耗时间进入。由于题目不允许原地停留消耗时间，因此只能使出回退 “反复横跳 A→ B → A” 来消耗时。因此有 dis[x][y] = Math.max(time + 1, grid[x][y])。
• 另外，根据网格图的性质，到达 (x, y) 点的最短时间 dis[x][y] 与 x + y 的奇偶性一定相同，如果不同必然需要 + 1。例如 $\begin{bmatrix}
  0 & 1 \
  1 & 3
  \end{bmatrix}$的最短路径是 3 + 1= 4，而 $\begin{bmatrix}
  0 & 1 \
  1 & 2
  \end{bmatrix}$的最短路径是 2。

至此，我们可以写出朴素版本的算法。

class Solution {
    fun minimumTime(grid: Array<IntArray>): Int {
        // 无解
        if (grid[0][1] > 1 && grid[1][0] > 1) return -1
        // 无效值
        val INF = Integer.MAX_VALUE
        val n = grid.size
        val m = grid[0].size
        // 最短路长度
        val dis = Array(n) { IntArray(m) { INF } }.apply {
            this[0][0] = 0
        }
        // 访问标记
        val visit = Array(n) { BooleanArray(m) }
        // 方向
        val directions = arrayOf(intArrayOf(0, 1), intArrayOf(0, -1), intArrayOf(1, 0), intArrayOf(-1, 0))
        while (true) {
            var x = -1
            var y = -1
            // 寻找候选集中的最短时间
            for (i in 0 until n) {
                for (j in 0 until m) {
                    if (!visit[i][j] && (-1 == x || dis[i][j] < dis[x][y])) {
                        x = i
                        y = j
                    }
                }
            }
            val time = dis[x][y]
            // 终止条件
            if (x == n - 1 && y == m - 1) return time
            // 标记
            visit[x][y] = true
            // 枚举相邻位置
            for (direction in directions) {
                val newX = x + direction[0]
                val newY = y + direction[1]
                // 越界
                if (newX !in 0 until n || newY !in 0 until m || visit[newX][newY]) continue
                var newTime = Math.max(time + 1, grid[newX][newY])
                newTime += (newTime - newX - newY) % 2
                // 松弛相邻点
                if (newTime < dis[newX][newY]) {
                    dis[newX][newY] = newTime
                }
            }
        }
    }
}

复杂度分析：

• 时间复杂度：$O(N^2)$ 其中 $N$ 为网格的个数 $nm$，在这道题中会超时；
• 空间复杂度：$O(N^2)$ 最短路数组的空间。

题解二（Dijkstra 算法 + 最小堆）

朴素 Dijkstra 的每轮迭代中需要遍历 N 个节点寻找候选集中的最短路长度。

事实上，这 N 个节点中有部分是 “确定集”，有部分是远离起点的边缘节点，每一轮都遍历所有节点显得没有必要。常用的套路是配合小顶堆记录候选集，以均摊 $O(lgN)$ 时间找到深度最近的节点中的最短路长度：

class Solution {
    fun minimumTime(grid: Array<IntArray>): Int {
        // 无解
        if (grid[0][1] > 1 && grid[1][0] > 1) return -1
        // 无效值
        val INF = Integer.MAX_VALUE
        val n = grid.size
        val m = grid[0].size
        // 最短路长度
        val dis = Array(n) { IntArray(m) { INF } }.apply {
            this[0][0] = 0
        }
        // 小顶堆：三元组 <x, y, dis>
        val heap = PriorityQueue<IntArray>() { e1, e2 ->
            e1[2] - e2[2]
        }.apply {
            this.offer(intArrayOf(0, 0, 0))
        }
        // 方向
        val directions = arrayOf(intArrayOf(0, 1), intArrayOf(0, -1), intArrayOf(1, 0), intArrayOf(-1, 0))
        while (true) {
            // 寻找候选集中的最短时间
            val node = heap.poll()
            val x = node[0]
            val y = node[1]
            val time = node[2]
            // 终止条件
            if (x == n - 1 && y == m - 1) return time
            // 枚举相邻位置
            for (direction in directions) {
                val newX = x + direction[0]
                val newY = y + direction[1]
                // 越界
                if (newX !in 0 until n || newY !in 0 until m) continue
                var newTime = Math.max(time + 1, grid[newX][newY])
                newTime += (newTime - newX - newY) % 2
                // 松弛相邻点
                if (newTime < dis[newX][newY]) {
                    dis[newX][newY] = newTime
                    heap.offer(intArrayOf(newX, newY, newTime))
                }
            }
        }
    }
}

复杂度分析：

• 时间复杂度：$O(NlgN)$ 每轮迭代最坏以 $O(lgN)$ 时间取堆顶；
• 空间复杂度：$O(N^2)$ 最短路数组的空间。

题解三（二分 + BFS）

这道题也有二分的做法。

为了能够有充足的时间走到目标点，我们可以考虑在起点进行反复横跳消耗时间 0/2/4/6/8/12 … MAX_VALUE。极端情况下，只要我们在起点消耗足够长的时间后，总能够有充足的时间走到右下角。

我们发现在起点消耗时间对结果的影响具有单调性：

• 如果 fullTime 可以到达目标点，那么大于 fullTime 的所有时间都充足时间到达目标点；
• 如果 fullTime 不能到达目标点，那么小于 fullTime 的所有时间都不足以到达目标点。

因此我们的算法是：使用二分查找寻找满足条件的最小 fullTime，并在每轮迭代中使用 BFS 走曼哈顿距离，判断是否可以走到目标点，最后再修正 fullTime 与 m + n 的奇偶性。

class Solution {
    // 方向
    private val directions = arrayOf(intArrayOf(0, 1), intArrayOf(0, -1), intArrayOf(1, 0), intArrayOf(-1, 0))

    fun minimumTime(grid: Array<IntArray>): Int {
        // 无解
        if (grid[0][1] > 1 && grid[1][0] > 1) return -1
        // 无效值
        val INF = Integer.MAX_VALUE
        val n = grid.size
        val m = grid[0].size
        var left = Math.max(grid[n - 1][m - 1], m + n - 2)
        var right = 1e5.toInt() + m + n - 2
        while (left < right) {
            val mid = (left + right) ushr 1
            if (checkBFS(grid, mid)) {
                right = mid
            } else {
                left = mid + 1
            }
        }
        // (left - m + n) % 2 确保奇偶性一致
        return left + (left - m + n) % 2
    }

    // 检查从 fullTime 开始是否可以等待能否到达左上角
    private fun checkBFS(grid: Array<IntArray>, fullTime: Int): Boolean {
        val n = grid.size
        val m = grid[0].size
        val visit = Array(n) { BooleanArray(m) }.apply {
            this[n - 1][m - 1] = true
        }
        val queue = LinkedList<IntArray>().apply {
            this.offer(intArrayOf(n - 1, m - 1))
        }
        var time = fullTime - 1
        while (!queue.isEmpty()) {
            // 层序遍历
            for (count in 0 until queue.size) {
                val node = queue.poll()!!
                val x = node[0]
                val y = node[1]
                for (direction in directions) {
                    val newX = x + direction[0]
                    val newY = y + direction[1]
                    // 越界
                    if (newX !in 0 until n || newY !in 0 until m) continue
                    // 已访问
                    if (visit[newX][newY]) continue
                    // 不可访问
                    if (time < grid[newX][newY]) continue
                    // 可访问
                    if (newX == 0 && newY == 0) return true
                    queue.offer(intArrayOf(newX, newY))
                    visit[newX][newY] = true
                }
            }
            // 时间流逝 1 个单位
            time--
        }
        return false
    }
}

复杂度分析：

• 时间复杂度：$O(N·lgU)$ 其中 $N$ 为网格的个数 $nm$，$U$ 是数据的最大值；
• 空间复杂度：$O(N^2)$ 最短路数组的空间。

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这周的周赛题目就讲到这里，我们下周见。