BZOJ.1036 [ZJOI2008]树的统计Count ( 点权树链剖分 线段树维护和与最值)

BZOJ.1036 [ZJOI2008]树的统计Count (树链剖分 线段树维护和与最值)

题意分析

(题目图片来自于 这里)

第一道树链剖分的题目，谈一下自己的理解。

树链剖分能解决的问题是，题目中反复要求对链上信息进行修改和查询。如果依旧采取用dfs序的方法，会发现不适用，原因是dfs序适用于处理子树的问题。当然暴力肯定是要被卡掉的。

树链剖分分为两次dfs。
第一次dfs求出每个节点的father,son,size,deep,这里涉及到重儿子的概念，网上有很多资料就不在这里赘述了。换句话说，通过第一次dfs，我们求出了树上的重儿子(size最大的那个儿子)。
第二次dfs，就将重儿子相互连接形成重链，换句话说，求出每个节点的top(链顶)，树上的每个节点，可以根据top是否相同来判断是否在一条链上，还有在线段树上的newid和线段树newid对应的实际的节点编号hashback。，因此在处理树上链修改的时候，可以很方便得进行处理。

有了这些数据，就可以对树上每个节点建立线段树。其实newid，可以看做是树上节点到线段树叶子节点的一个hash，而数组hashback，相当于线段树叶子节点到树上节点的hash。
通过建立的线段树，不难发现，在一链上的节点，所对应线段树区间是连续的。

在维护线段树的时候，和普通的线段树没有区别。只是查询时，需要trick。

这里阐述2个，查询链上最值和链上节点权值和。

先说第一个。我们根据题目知道了两个节点编号x,y.通过两次dfs的顺序，不难得出，deep大的节点对应的newid就大(想一想为什么，可以画一画)。于是就从xy中选择一个deep比较大的，让他向上爬，每次爬选择到他的top（链顶）。为什么爬到链顶呢？原因很简单，刚才说过一句话，在一链上的节点，所对应线段树区间是连续的。，换句话说，对于这段连续的区间，就可以利用线段树的特性方便求出他的最值。 如此就能将复杂度讲的很低。但是问题又来了，如果他不在一条链上，自己很孤立，没有形成重链或者轻链，那么他就向自己的父亲爬就好了。如此一来，我们每次选择深度大的点，向上爬，一边爬一遍更新信息，知道两个人都爬到lca(x,y)时，结束。

对于第二个，差别仅仅在于每次爬的时候用不同的方式更新信息罢了。刚才是求得最值，现在只求和，区别也仅仅在此，思路是一样的。

至于单点修改，和线段树的修改是没有区别的，只不过修改的节点要用newid保存的值hash过去，否则会出错。

代码总览

#include <bits/stdc++.h>
#define ll int
#define nmax 30820
using namespace std;
int fa[nmax],son[nmax],sz[nmax],newid[nmax],hashback[nmax],dep[nmax],top[nmax];
int num,tot,head[nmax],data[nmax];
struct edge{
    int to;
    int next;
}edg[nmax<<1];
struct tree{
    int l,r,val,mx;
    int mid(){
        return (l+r)>>1;
    }
}tree[nmax<<2];
void add(int u, int v){
    edg[tot].to = v;
    edg[tot].next = head[u];
    head[u] = tot++;
}
void dfsFirst(int rt, int f,int d){
    dep[rt] = d;
    fa[rt] =f;
    sz[rt] = 1;
    for(int i = head[rt]; i!= -1; i = edg[i].next){
        int nxt = edg[i].to;
        if(nxt != f){
            dfsFirst(nxt,rt,d+1);
            sz[rt]+=sz[nxt];
            if(son[rt] == -1 || sz[nxt] > sz[son[rt]]){
                son[rt] = nxt;
            }
        }

    }
}
void dfsSecond(int rt, int tp){
    top[rt] = tp;
    newid[rt] = ++num;
    hashback[num] = rt;
    if(son[rt] == -1) return;
    dfsSecond(son[rt],tp);
    for(int i = head[rt];i != -1; i = edg[i].next){
        int nxt = edg[i].to;
        if(nxt != son[rt] && nxt != fa[rt])
            dfsSecond(nxt,nxt);
    }
}
void init(){
    memset(tree,0,sizeof tree);
    memset(head,-1,sizeof head);
    memset(son,-1,sizeof son);
    memset(edg,0,sizeof edg);
    memset(hashback,0,sizeof hashback);
    tot = num = 0;
}
void PushUp(int rt){
    tree[rt].mx = max(tree[rt<<1].mx , tree[rt<<1|1].mx);
    tree[rt].val = tree[rt<<1].val + tree[rt<<1|1].val;
}
void Build(int l, int r, int rt){
    tree[rt].l = l; tree[rt].r = r;
    if(l == r){
        tree[rt].val = tree[rt].mx = data[hashback[l]];
        return;
    }
    Build(l,tree[rt].mid(),rt<<1);
    Build(tree[rt].mid()+1,r,rt<<1|1);
    PushUp(rt);
}
void UpdatePoint(int val, int pos, int rt){
    if(tree[rt].l == tree[rt].r){
        tree[rt].mx = tree[rt].val = val ;
        return;
    }
    if(pos <= tree[rt].mid()) UpdatePoint(val,pos,rt<<1);
    else UpdatePoint(val,pos,rt<<1|1);
    PushUp(rt);
}
int QueryMAX(int l,int r,int rt){
    if(l <= tree[rt].l && tree[rt].r <= r) return tree[rt].mx;
    //PushDown(rt);
    int ans = -1e9+7;
    if(l <= tree[rt].mid()) ans = max(ans,QueryMAX(l,r,rt<<1));
    if(r > tree[rt].mid()) ans = max(ans,QueryMAX(l,r,rt<<1|1));
    return ans;
}
int QuerySUM(int l,int r,int rt)
{
    if(l>tree[rt].r || r<tree[rt].l) return 0;
    if(l <= tree[rt].l && tree[rt].r <= r) return tree[rt].val;
    return QuerySUM(l,r,rt<<1) + QuerySUM(l,r,rt<<1|1);
}
int Find_MAX(int x, int y){
    int tx = top[x],ty =top[y],ans = -1e9+7;
    while(tx != ty){
        if(dep[tx] < dep[ty]){
            swap(x,y);
            swap(tx,ty);
        }
        ans = max(ans,QueryMAX(newid[tx],newid[x],1));
        x = fa[tx]; tx = top[x];
    }
    if(dep[x] > dep[y]) ans = max(ans,QueryMAX(newid[y],newid[x],1));
    else ans = max(ans,QueryMAX(newid[x],newid[y],1));
    return ans;
}
int Find_SUM(int x, int y){
    int tx = top[x],ty =top[y],ans = 0;
    while(tx != ty){
        if(dep[tx] < dep[ty]){
            swap(x,y);
            swap(tx,ty);
        }
        ans += QuerySUM(newid[tx],newid[x],1);
        x = fa[tx]; tx = top[x];
    }
    if(dep[x] > dep[y]) ans += QuerySUM(newid[y],newid[x],1);
    else ans += QuerySUM(newid[x],newid[y],1);
    return ans;
}

int n,m;
int main()
{
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    init();
    scanf("%d",&n);
    int u,v,m,x,y;
    char op[10];
    for(int i =1;i<=n-1;++i){
        scanf("%d %d",&u,&v);
        add(u,v);
        add(v,u);
    }
    for(int i =1;i<=n;++i) scanf("%d", &data[i]);
    dfsFirst(1,0,1);
    dfsSecond(1,1);
//    printf("MESSA ID    DATA   FA   SON   SIZE   DEEP   NEWID  TOP\n");
//    for(int i = 1;i<=n;++i){
//        printf("DEBUG %5d %5d %5d %5d %5d %5d %5d %5d\n",i,data[i],fa[i],son[i],sz[i],dep[i],newid[i],top[i]);
//    }
    Build(1,n,1);
//    printf("MESSA ID   val\n");
//    for(int i = 1;i<=n;++i){
//        printf("DEBUF %d   %d\n",i,QuerySUM(i,i,1));
//    }
    scanf("%d",&m);
    for(int i = 0;i<m;++i){
        scanf("%s %d %d",op,&x,&y);
        if(op[1] == 'S'){//QSUM
            printf("%d\n",Find_SUM(x,y));
        }else if(op[1] == 'M'){//QMAX
            printf("%d\n",Find_MAX(x,y));
        }else{
            UpdatePoint(y,newid[x],1);
            data[x] = y;
        }
    }
    return 0;
}