多重背包问题——二进制优化

前言

二进制优化，将每类物品的数量按2的整数次幂进行拆分，因为任何一个十进制数都可以用若干个二进制数来凑成

时间复杂度：O(NlogSV)

题目描述

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。

第 i 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行三个整数 vi,wi,si，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N≤1000
0<V≤2000
0<vi,wi,si≤2000

提示：

本题考查多重背包的二进制优化方法。

输入样例

4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2

输出样例：

10

Java代码

import java.util.*;

public class Main {
    
    static int N = 25000 + 10;
    static int[] f = new int[N];
    static int[] v = new int[N];
    static int[] w = new int[N];
    
    public static void main(String[] args) {
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        int n = in.nextInt();
        int m = in.nextInt();
        
        // 拆分后的物品种类
        int cnt = 0;
        while (n-- > 0) {
            int a = in.nextInt();
            int b = in.nextInt();
            int s = in.nextInt();
            int k = 1;
            while (k <= s) {
                cnt++;
                v[cnt] = a * k;
                w[cnt] = b * k;
                s -= k;
                k *= 2;
            }
            if (s > 0) {
                cnt++;
                v[cnt] = a * s;
                w[cnt] = b * s;
                s -= s;
            }
        }
        
        // 更新n
        n = cnt;
        
        // 01背包
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = m; j >= v[i]; j--) {
                f[j] = Math.max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
            }
        }
        
        System.out.println(f[m]);
    }
    
}