Leetcode每日一题——1269. 停在原地的方案数（路径DP）

题目描述

有一个长度为 arrLen 的数组，开始有一个指针在索引 0 处。

每一步操作中，你可以将指针向左或向右移动 1 步，或者停在原地（指针不能被移动到数组范围外）。

给你两个整数 steps 和 arrLen ，请你计算并返回：在恰好执行 steps 次操作以后，指针仍然指向索引 0 处的方案数。

由于答案可能会很大，请返回方案数模 10^9 + 7 后的结果。

示例 1：

输入：steps = 3, arrLen = 2
输出：4
解释：3 步后，总共有 4 种不同的方法可以停在索引 0 处。
向右，向左，不动
不动，向右，向左
向右，不动，向左
不动，不动，不动

示例 2：

输入：steps = 2, arrLen = 4
输出：2
解释：2 步后，总共有 2 种不同的方法可以停在索引 0 处。
向右，向左
不动，不动

示例 3：

输入：steps = 4, arrLen = 2
输出：8

提示：

1 <= steps <= 500
1 <= arrLen <= 10^6

解题思路：

定义状态：f[i][j] 表示经过i步操作又回到下标j的方案数
状态转移方程：f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + f[i - 1][j] + f[i - 1][j + 1]
初始状态：f[0][0] = 1，其余f[0][i] = 0(1 <= i < n)，这里要特别注意

传统二维数组——空间复杂度：O(steps * maxIndex)

 1 class Solution {
 2     public int numWays(int steps, int arrLen) {
 3         int mod = 1000000000 + 7;
 4         // 走的最远的下标是通过steps和arrLen共同决定的
 5         int maxIndex = Math.min(steps, arrLen - 1);
 6         // 优化前
 7         int[][] f = new int[steps + 1][maxIndex + 1];
 8         for (int i = 0; i <= steps; i++) {
 9             for (int j = 0; j <= maxIndex; j++) {
10                 if (i == 0 && j == 0) {
11                     f[i][j] = 1;
12                     continue;
13                 }
14                 if (i == 0) {
15                     f[i][j] = 0;
16                     continue;
17                 }
18                 f[i][j] += f[i - 1][j];
19                 f[i][j] %= mod;
20                 if (j > 0) {
21                     f[i][j] += f[i - 1][j - 1];
22                     f[i][j] %= mod;
23                 }
24                 if (j < maxIndex) {
25                     f[i][j] += f[i - 1][j + 1];
26                     f[i][j] %= mod;
27                 }
28             }
29         }
30 
31         return f[steps][0];
32 }

优化空间——空间复杂度：O(2 * maxIndex)

 1 class Solution {
 2     public int numWays(int steps, int arrLen) {
 3         int mod = 1000000000 + 7;
 4         // 走的最远的下标是通过steps和arrLen共同决定的
 5         int maxIndex = Math.min(steps, arrLen - 1);
 6         // 优化后
 7         int[][] f = new int[2][maxIndex + 1];
 8         int old = 0;
 9         int now = 1;
10         for (int i = 0; i <= steps; i++) {
11             old = now;
12             now = 1 - now;
13             for (int j = maxIndex; j >= 0; j--) {
14                 if (i == 0 && j == 0) {
15                     f[now][j] = 1;
16                     continue;
17                 }
18                 if (i == 0) {
19                     f[now][j] = 0;
20                     continue;
21                 }
22                 f[now][j] = f[old][j];
23                 f[now][j] %= mod;
24                 if (j > 0) {
25                     f[now][j] += f[old][j - 1];
26                     f[now][j] %= mod;
27                 }
28                 if (j < maxIndex) {
29                     f[now][j] += f[old][j + 1];
30                     f[now][j] %= mod;
31                 }
32             }
33         }
34 
35         return f[now][0];
36     }
37 }