最小生成树——Prim算法实现最小生成树

什么是最小生成树？

一个有 n 个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图，且包含原图中的所有 n 个结点，并且有保持图连通的最少的边。最小生成树可以用kruskal（克鲁斯卡尔）算法或prim（普里姆）算法求出。

 

MST性质：

假设 N = (V, {E})是一个连通网，U是顶点集V的一个非空子集。若（u，v）是一条具有最小权值（代价）的边，其中 u ∈ U， v ∈ V - U，则必存在一棵包含边（u, v）的最小生成树。

证明如下（反证法）：

　　假设连通网N的任何一棵最小生成树中都不包含边（u，v）。

　　设T是N的一棵最小生成树，则由上述假设可知，T中不包含（u，v）。由于T是连通的，因此有一条从u到v的路径。将T中的顶点集分为两部分：顶点集U和顶点集V - U，其中，顶点集U和相关的边构成一棵最小生成树T1，顶点集V - U和相关的边也构成一棵最小生成树T2，并且T1与T2之间只能有一条边，不妨设为（u`, v`），则u 和 u`之间、v和v`之间均是连通的。当把边（u，v）加入最小生成树T时，T中必有一条包含边（u，v）的回路，删除边（u`, v`），上述回路即被删除，由此得到另一棵生成树Ｔ｀，如图所示。因为边（ｕ，ｖ）的权值小于等于（ｕ｀，ｖ｀）的权值，则Ｔ｀的代价也就小于等于Ｔ的代价，因此Ｔ｀也是Ｎ的最小生成树，且包含边（ｕ，ｖ），与假设矛盾，得证。

 

 什么是Prim算法？

普里姆算法（Prim算法），图论中的一种算法，可在加权连通图里搜索最小生成树。意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中，不但包括了连通图里的所有顶点（英语：Vertex (graph theory)），且其所有边的权值之和亦为最小。该算法于1930年由捷克数学家沃伊捷赫·亚尔尼克（英语：Vojtěch Jarník）发现；并在1957年由美国计算机科学家罗伯特·普里姆（英语：Robert C. Prim）独立发现；1959年，艾兹格·迪科斯彻再次发现了该算法。因此，在某些场合，普里姆算法又被称为DJP算法、亚尔尼克算法或普里姆－亚尔尼克算法。

 

Prrim算法的基本思想是：假设N = （V， E）是连通网，令T = （U， TE）是N的最小生成树。算法的基本思想是：T的初始状态为U = {Vo} (Vo∈V），TE = {}，重复执行下述操作：

① 在所有u∈U，v∈V - U的边（u，v）∈ E中，找一条代价最小的边（ui, vj）并入集合TE，同时将 vj 并入 U 中；

② 如此不断重复，知道 U = V 为止。此时 TE 必有 n - 1 条边，则 T（V，TE）为 N 的最小生成树。

 

连通图：

 

最小生成树：

Prim算法代码实现：

public class MST {

    /**
     * 这里用邻接矩阵来存储图
     * 顶点编号从 A 开始，总共有7个顶点
     * 这里需要声明一下，如果两个顶点没有边直接连接，那么就设置这连个顶点的权值（也可认为是距离，这里具体问题具体分析）无穷大
     */
    private static int[][] closeMatrix = {
            {0, 50, 60, Integer.MAX_VALUE, Integer.MAX_VALUE, Integer.MAX_VALUE, Integer.MAX_VALUE},
            {50, 0, Integer.MAX_VALUE, Integer.MAX_VALUE, 40, Integer.MAX_VALUE, Integer.MAX_VALUE},
            {60, Integer.MAX_VALUE, 0, 52, Integer.MAX_VALUE, Integer.MAX_VALUE, 45},
            {Integer.MAX_VALUE, Integer.MAX_VALUE, 52, 0, 50, 30, 42},
            {Integer.MAX_VALUE, 40, Integer.MAX_VALUE, 50, 0, 70, Integer.MAX_VALUE},
            {Integer.MAX_VALUE, Integer.MAX_VALUE, Integer.MAX_VALUE, 30, 70, 0, Integer.MAX_VALUE},
            {Integer.MAX_VALUE, Integer.MAX_VALUE, 45, 42, Integer.MAX_VALUE, Integer.MAX_VALUE, 0},
    };

    private static char[] vex = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};

    /**
     * @param closeMatrix
     * @param startVex 这里开始的顶点用数字表示，A-0 B-1 C-2 D-3 E-4 F-5 G-6
     */
    public static void prim(int[][] closeMatrix, int startVex) {
        // 两个辅助数组，因为随着点加入U中，可能原先是无穷大，后面直接变成最小都有可能，所以下面的两个数组的值都是在不停的变化
        // lowCosts数组还有一个作用，如果lowCosts[i] == 0 表示编号为i的顶点已经加入到U集合中了，反之则没有加入U集合
        // 这里是为想不改变原矩阵，所以才开了lowCosts作为辅助数组
        int[] lowCosts = new int[vex.length];
        // closest数组是用来存储当前加入U集合中的顶点编号，作用：为了后面打印边时，能知道边左边的顶点编号
        int[] closest = new int[vex.length];
        // 一开始加入第一个顶点时，初始化以上两个数组
        // 加入一个顶点时没有边，所以不需要打印
        for (int i = 0; i < vex.length; i++) {
            lowCosts[i] = closeMatrix[startVex][i];
            closest[i] = startVex;
        }

        // k用于存储当前离U集合最近的顶点编号
        int k = startVex;
        // 开始加入V - U集合中的顶点，循环n - 1遍，该循环的目的：找出n - 1个顶点
        for (int i = 1; i < vex.length; i++) {
            // 找出离最小权值的边
            int min = Integer.MAX_VALUE;
            // 在V - U集合中找出离U最近的顶点k
            for (int j = 0; j < vex.length; j++) {
                if (lowCosts[j] != 0 && lowCosts[j] < min) {
                    // 更新
                    min = lowCosts[j];
                    k = j;
                }
            }
            // 程序运行到这，表示此时已经找到了我们想要找到的离U集合最近的顶点了，也可以将这里最近理解为代价最小或权值最小
            // 打印边
            System.out.printf("边（%c, %c）权为：%d\n", vex[closest[k]], vex[k], min);
            // 不要忘了，标志编号为k的顶点已经加入U集合
            lowCosts[k] = 0;
            // 修改lowCosts 和 closest 数组
            // 修改仍在V - U集合中的顶点，如果已经在U集合中的顶点不需要修改
            for (int j = 0; j < vex.length; j++) {
                // 现在要比的是编号为k的顶点，所有顶点以编号为k的顶点为参考点，如果此时到它的权值比之前的到上一个顶点时的更优，则更新
                if (lowCosts[j] != 0 && closeMatrix[k][j] < lowCosts[j]) {
                    // 此时 lowCosts[j] 的值不再是一开始到开始第一加入的顶点时的权值了，而是到编号为k的顶点的权值
                    // 因为此时已经将k加入U集合，所有在 V - U集合中的顶点选取最小权值时都要以编号为k的顶点作为基点展开
                    lowCosts[j] = closeMatrix[k][j];
                    // 更新k，这一行至关重要
                    closest[j] = k;
                }
            }
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        prim(closeMatrix, 0);
    }
}

运行结果：