第十一届蓝桥杯省赛第二场——试题 H: 数字三角形

【问题描述】

上图给出了一个数字三角形。从三角形的顶部到底部有很多条不同的路径。 对于每条路径，把路径上面的数加起来可以得到一个和，你的任务就是找到最大的和。 路径上的每一步只能从一个数走到下一层和它最近的左边的那个数或者右 边的那个数。此外，向左下走的次数与向右下走的次数相差不能超过1。
【输入格式】
输入的第一行包含一个整数 N (1 < N ≤ 100)，表示三角形的行数。下面的 N行给出数字三角形。
数字三角形上的数都是 0 至 100 之间的整数。
【输出格式】
输出一个整数，表示答案。
【样例输入】
5
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5
【样例输出】
27

我的思路：

一开始就想着递归，还是没能真正领悟动态规划的精髓，看了大佬的思路，才有一种醍醐灌顶的感觉。

 递归代码：

public class NumTriangle {
    private static int n;
    private static int[][] dp = new int[100 + 10][100 + 10];
    /**
     * right数组代表前i行向左走了几次
     */
    private static int[] left = new int[100 + 10];
    /**
     * right数组代表前i行向右走了几次
     */
    private static int[] right = new int[100 + 10];
    private static int[] values = new int[100 + 10];
    private static int max = Integer.MIN_VALUE;
    public static void main(String[] args) {
        Scanner input = new Scanner(System.in);
        n = input.nextInt();
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= i; j++) {
                dp[i][j] = input.nextInt();
            }
        }

        left[1] = 0;
        right[1] = 0;
        // 从顶点开始
        int i = 1;
        int j = 1;
        values[1] = dp[1][1];
        recursion(i, j, 2);
        System.out.println(max);
    }

    public static void recursion(int i, int j, int row) {
        if (row == n + 1) {
            // 判断，此时已经到达最后一行的下一行
            int total = 0;
            for (int k = 1; k <= n; k++) {
                total += values[k];
            }
            if (total > max) {
                max = total;
            }
            return;
        }

        int[] x = {1, 1};
        int[] y = {0, 1};
        // 考虑左右两种情况
        for (int k = 0; k < 2; k++) {
            int nextX = i + x[k];
            int nextY = j + y[k];
            if (nextX >= 1 && nextX <= row + 1 && nextY >= 1 && nextY <= row + 1) {
                // 下面的if-else判断一定不能少
                if (k == 0) {
                    // 向左
                    left[row] = left[row - 1] + 1;
                    if (left[row] > n - 1 - left[row] + 1) {
                        left[row] = left[row - 1];
                        continue;
                    }
                } else {
                    // 向右
                    right[row] = right[row - 1] + 1;
                    if (right[row] > n - 1 - right[row] + 1) {
                        right[row] = right[row - 1];
                        continue;
                    }
                }
                // n行只需要走n-1次
                values[row] = dp[nextX][nextY];
                recursion(nextX, nextY, row + 1);
                // 回溯
                if (k == 0) {
                    left[row] = left[row - 1];
                } else {
                    right[row] = right[row - 1];
                }
            }
        }
    }
}

大佬思路：
DP推导+奇偶判断。在输入数组的时候进行数组值的计算，因为只能向左或者右走，即我现在所在的位置坐标是从上一层这个位置的左边或者上边进行跳转得到的坐标，通过选择最大值进行跳转，更新数组的值，由于向左向右不能超过1，所以通过奇偶判断层数，如果是奇数，最后的位置第n层，第（n/2+1）位置上的数字，如果是偶数，则需要判断第n层，第（n/2）位置的数字和第n层第（n/2+1）位置的数字，选大的。
注意我的数组下标是从1开始。

AC代码：

import java.util.Scanner;
public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        int arr[][]=new int[n+1][n+1];
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=i;j++){
                arr[i][j]=sc.nextInt();
                arr[i][j]+=Math.max(arr[i-1][j-1], arr[i-1][j]);
            }
        }
        System.out.println(n%2==1?arr[n][n/2+1]:Math.max(arr[n][n/2], arr[n][n/2+1]));
    }
}