图像处理之基础---线性卷积和循环卷积的区别
两个序列的N点循环卷积定义为
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[()()]()(())NNN
khnxnhmxnm (0)nN
从定义中可以看到，循环卷积和线性卷积的不同之处在于：两个N点序列的N点循环卷积的结果仍为N点序列，而它们的线性卷积的结果的长度为2N-1；循环卷积对序列的移位采取循环移位，而线性卷积对序列采取线性移位。正是这些不同，导致了线性卷积和循环卷积有不同的结果和性质。 循环卷积和线性卷积虽然是不用的概念，但它们之间由一个有意义的公式联系在一起
()[()()](())()
NNrynhnxnynrNGn
其中()()()ynhnxn。
也就是说，两个序列的N点循环卷积是它们线性卷积以N为周期的周期延拓。设序列还()hn的长度为1N，序列()xn的长度为2N，此时，线性卷积结果的序列
的点数为121NNN
；因此如果循环卷积的点数N小于121NN，那么上述周期性延拓的结果就会产生混叠，从而两种卷积会有不同的结果。而如果N满足NN的条件，就会有
()()ynyn (0)nN
这就意味着时域不会产生混叠。因此，我们得出结论：若通过在序列的末尾填充适当的零值，使得()xn和()hn成为121NN点序列，并作为这两个序列的121NN循环卷积，那么循环卷积与线性卷积的结果在0nN范围内相同。
根据DFT循环卷积性质中卷积定理
{[()()]}[()][()]NDFThnxnDFTxnDFThn
便可通过两种方法求两个序列的循环卷积：一直直接根据定义计算；二是根据性质先分别求两个序列的N点DFT，并相乘，然后取IDFT以得到循环卷积。第二
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种方法看起来要经过若干个步骤，但由于求序列的DFT和IDFT都有快速算法，因此它的效率比第一种方法高得多。
同样，根据线性卷积和循环卷积的关系，可以通过计算循环卷积以求得线性卷积，提高计算序列线性卷积的效率。
