多重小数部分和的渐近式与Ovidiu Furdui积分问题

一类多重小数部分和的渐近式与Ovidiu Furdui积分问题

最近（6月），网友王永强先生发给好友曾熊一个渐近式，即如下 $k=2$ 的情形，熊哥转述给我后，觉得比较有意思，然后我和马明辉做了推广，考虑了如下 $k$ 重和式

$$\begin{equation}\label{eq:1} \sum_{n_1=1}^{N} \sum_{n_2=1}^{N}\dotsc \sum_{n_{k}=1}^{N} \left\{ \frac{N}{n_1+n_2+\dotsb+n_k} \right\} \end{equation}$$
的渐近估计，$\{\cdot \}$ 表示小数部分．和式取遍不超过 $N$ 的正整数 $n_1,n_2,\dotsc, n_k \in\mathbb{N}_{+}$.

当 $k=1$ 时，$\eqref{eq:1}$ 式可由著名的 Dirichlet 除数问题得到，我们有
$$\begin{equation}\label{eq:2} \sum_{n_1=1}^{N} \left\{ \frac{N}{n_1} \right\} = (1-\gamma) N + O\big(\sqrt{N}\big) \end{equation}$$
其中 $\gamma$ 是 Euler 常数．迄今， $\eqref{eq:2}$ 式中余项最好的上界估计是 2017 年 J. Bourgain 和  N. Watt (Mean square of zeta function, circle problem and divisor problem revisited,  arXiv:1709.04340v1) Theorem 2 的结果: $O\big( N^{\frac{517}{1648}+\varepsilon} \big)$.

特别地，当 $k=2,3,4,5$ 时，我们证明了如下结果：
$$\begin{align*} \sum_{n_1=1}^{N} \sum_{n_2=1}^{N} \left\{ \frac{N}{n_1+n_2} \right\} & = \left(2\log2-\frac{\zeta(2)}{2}\right)N^2+O(N\log N) \\ \sum_{n_1=1}^{N} \sum_{n_2=1}^{N} \sum_{n_3=1}^{N} \left\{ \frac{N}{n_1+n_2+n_3} \right\} & = \left(\frac{9}{2}\log 3 - 6\log 2 - \frac{\zeta(3)}{6} \right) N^3 + O(N^2) \\ \sum_{n_1=1}^{N} \sum_{n_2=1}^{N} \sum_{n_3=1}^{N} \sum_{n_4=1}^{N} \left\{ \frac{N}{n_1+n_2+n_3+n_4} \right\} & = \left(\frac{88}{3}\log 2 - 18 \log 3 - \frac{\zeta(4)}{24} \right)N^{4} + O(N^3) \\ \sum_{n_1=1}^{N} \sum_{n_2=1}^{N} \sum_{n_3=1}^{N} \sum_{n_4=1}^{N} \sum_{n_5=1}^{N} \left\{ \frac{N}{n_1+n_2+n_3+n_4+n_5} \right\} & = \left(\frac{625}{24}\log 5+ \frac{135}{4}\log 3 - \frac{340}{3}\log 2 - \frac{\zeta(5)}{120} \right)N^{5} + O(N^4). \end{align*}$$

当然我们也证明了 $k$ $(k\geqslant 2)$ 重和式的渐近公式．

一般地, 对于 $k\geqslant 2$, 我们得到了如下定理:

对于 $k\geqslant 3$, 我们有
$$\begin{equation*} \sum_{n_1=1}^{N} \dotsc \sum_{n_{k}=1}^{N} \left\{ \frac{N}{n_1+\dotsb+n_k} \right\} = \left( \frac{1}{(k-1)!}\sum_{j=2}^{k} (-1)^{k+j} j^{k-1} \binom{k}{j} \log j - \frac{\zeta(k)}{k!} \right) N^{k} + O\big(N^{k-1}\big). \end{equation*}$$
其中 $\binom{k}{j}=\frac{k!}{j!(k-j)!}$ 是二项式系数, $\log x$ 是自然对数, $\zeta(k)=\sum\limits_{\ell=1}^{\infty} \frac{1}{\ell^k}$ 为 Riemann zeta 函数.

当 $k=2$ 时, 有
$$\begin{equation}\label{eq:3} \sum_{n_1=1}^{N} \sum_{n_2=1}^{N} \left\{ \frac{N}{n_1+n_2} \right\} = \left(2\log2-\frac{\zeta(2)}{2}\right)N^2+O(N\log N), \end{equation}$$
其中 $\zeta(2)=\pi^2/6$.

Ovidiu Furdui 在其著作 (Furdui O. Limits, Series, and Fractional Part Integrals: Problems in Mathematical Analysis. New York: Springer, 2013.) 中第 2 章专门研究了一系列小数部分积分, 并给出如下未解决问题:

问题 [p.109]：设整数 $k\geqslant 3$, $m\geqslant 1$, 计算出积分
$$\begin{equation*} \int_{0}^{1} \dotsi \int_{0}^{1} \left\{ \frac{1}{x_1+\dotsb+x_k} \right\}^{m} \mathrm{d}x_{1} \dotsm \mathrm{d}x_{k} \end{equation*}$$
闭形式的公式.

2016 年, Ovidiu Furdui 本人给出上述问题 $m=1$ 的情形 (见 [p. 262, Theorem 4, Furdui O. Multiple Fractional Part Integrals and Euler’s Constant. Miskolc Mathematical Notes, 2016, 17(1): 255-266.]) 的递推公式, 而其递推公式涉及其他类型的积分, 计算很繁复.

从我们的定理间接地解决了 Ovidiu Furdui 小数部分积分 $m=1$ 的情形. 考虑 $k$ 重积分的定义, 不难得到

$$\begin{equation*} \int_{0}^{1} \dotsi \int_{0}^{1} \left\{ \frac{1}{x_1+\dotsb+x_k} \right\} \mathrm{d}x_{1} \dotsm \mathrm{d}x_{k} = \lim_{N\to \infty} \frac{1}{N^k} \sum_{n_1=1}^{N} \dotsc \sum_{n_{k}=1}^{N} \left\{ \frac{N}{n_1+\dotsb+n_k} \right\}. \end{equation*}$$

 

则我们有如下推论:

当 $k=1$ 时
$$\begin{equation*} \int_{0}^{1} \left\{ \frac{1}{x_1} \right\} \mathrm{d}x_{1} = 1-\gamma. \end{equation*}$$
当 $k\geqslant 2$ 时
$$\begin{equation*} \int_{0}^{1} \dotsi \int_{0}^{1} \left\{ \frac{1}{x_1+\dotsb+x_k} \right\} \mathrm{d}x_{1} \dotsm \mathrm{d}x_{k} = \frac{1}{(k-1)!}\sum_{j=2}^{k} (-1)^{k+j} j^{k-1} \binom{k}{j} \log j - \frac{\zeta(k)}{k!}. \end{equation*}$$

例如, 当 $k=2,3,4$ 时有
$$\begin{align*} \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \left\{ \frac{1}{x_1+x_2} \right\} \mathrm{d}x_1 \mathrm{d}x_2 & = 2\log2-\frac{\zeta(2)}{2}, \\ \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \left\{ \frac{1}{x_1+x_2+x_3} \right\} \mathrm{d}x_1 \mathrm{d}x_2 \mathrm{d}x_3 & = \frac{9}{2}\log 3 - 6\log 2 - \frac{\zeta(3)}{6}, \\ \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \left\{ \frac{1}{x_1+x_2+x_3+x_4} \right\} \mathrm{d}x_1 \mathrm{d}x_2 \mathrm{d}x_3 \mathrm{d}x_4 & = \frac{88}{3}\log 2 - 18 \log 3 - \frac{\zeta(4)}{24}. \end{align*}$$

更新：本文将发表在《大学数学》，暑假 8 月13 投稿，10 月 11 修改。