无平方因子数的分布 (Ⅰ)

无平方因子数的分布(Ⅰ)

Daoyi Peng

May 23, 2015

● 卷积方法余项估计

定义 1   乘性函数 $n\mapsto \mu^2(n)$, 其部分和

\begin{equation*}
  Q(x):=\sum_{n\leqslant x}\mu^2(n)
\end{equation*}

等于不超过 $x$ 的无平方因子整数的个数.

定理 1   当 $x$ 趋于无穷时, 有

\begin{equation*}
  Q(x)=\frac{6}{\pi^2}x+O(\sqrt{x}).
\end{equation*}

● 素数定理下余项估计
引理 1   素数定理

\begin{equation*}
\pi(x)=\sum_{p\leqslant x}1 = (1+o(1)) \frac{x}{\log x}
\end{equation*}

与

\begin{equation}\label{eq:1}
M(x)=\sum_{n\leqslant x}\mu(n)=o(x)
\end{equation}

等价, 其中 $M(x)$ 称 Mertens 函数.
定理 2   在 \eqref{eq:1} 下, 有

\begin{equation*}
   Q(x)=\frac{6}{\pi^2}x+o(\sqrt{x}) \quad (x\to \infty).
\end{equation*}

● $\zeta(s)$ 的无零点区域
引理 2   存在绝对常数 $c>0$, 使得对 $\tau\in\mathbb{R}$ 及

\begin{equation*}
  \sigma \geqslant 1-\frac{c}{\log^9 (|\tau|+2)},
\end{equation*}

有上界估计

\begin{equation*}
  1/\zeta(s) \ll \log^{7} (|\tau|+2).
\end{equation*}

且在此区域 $\big\{s: \sigma \geqslant 1-\frac{c}{\log^9 (|\tau|+2)} \big\}$ 内 $\zeta(s)$ 无零点.
定理 3   存在绝对正常数 $c>0$, 使得

\begin{equation*}
  Q(x)=\frac{6}{\pi^2}x+O \big( x^{\frac{1}{2}}\exp(-c(\log x)^{\frac{1}{10}}) \big).
\end{equation*}

引理 3 (Korobov 1958 Vinogradov 1958)    存在绝对常数 $c>0$, 使得对

\begin{equation*}
  \sigma \geqslant 1-\frac{c (\log\log \tau)^{-1/3}}{(\log \tau)^{2/3}} \quad (\tau \geqslant 3),
\end{equation*}

有上界估计

\begin{equation*}
  1/\zeta(s) \ll (1+\tau^{A(1-\sigma)^{3/2}})(\log \tau)^{2/3} \quad (\sigma \geqslant 0, \, \tau \geqslant 2).
\end{equation*}

且在此区域 $\{s: \sigma \geqslant 1- c (\log\log \tau)^{-1/3}(\log \tau)^{-2/3} \}$ 内 $\zeta(s)$ 无零点.
定理 4    存在绝对正常数 $c>0$, 使得

\begin{equation*}
  Q(x)=\frac{6}{\pi^2}x +O\left( \sqrt{x}\exp\big(-c (\log x)^{\frac{3}{5}} (\log\log x)^{-\frac{1}{5}}\big)\right).
\end{equation*}

● Riemann 假设下的余项估计
Riemann 假设   $\zeta(s)$ 的非平凡零点的实部为
\[ \Re \varrho =\dfrac{1}{2}.\]
定理 5   贾朝华 (1993)   若 Riemann 假设成立, 则有

\begin{equation*}
  Q(x) = \frac{6}{\pi^2} x + O_{\varepsilon}(x^{17/54+ \varepsilon}).
\end{equation*}

● $\Omega$ 结果
定理 6   当 $x$ 趋于无穷时, 有

\begin{equation*}
  Q(x)=\frac{6}{\pi^2} x + \Omega_{\pm} (x^{1/4}).
\end{equation*}

注   设 $\varrho_{0}$ 为 $\zeta(s)$ 第一个非平凡零点, 即其正虚部 $\Im \varrho_{0}$ 最小, 有

\begin{equation*}
  \limsup_{x \to \infty}  \frac{Q(x)-6x/\pi^2}{x^{\frac{1}{4}}} \geqslant \bigg|\frac{\zeta(\varrho_{0}/2)}{\varrho_{0} \zeta'(\varrho_0)} \bigg| \geqslant 0.10043.
\end{equation*}