Riemann zeta 函数 (Ⅱ)

Riemann zeta 函数 (Ⅱ)

June 12, 2012

• Riemann 的论文思路

下面按照 Riemann 论文的思路揭示 $\zeta(s)$ 与素数的关系. 将 Euler 乘积公式
\[\zeta(s)=\prod_{p\in\mathbb{P}}\frac{1}{1-p^{-s}} \quad (\Re(s)>1)\]
两边取对数得 (利用 $\log(1-x)=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}$)
\[\log\zeta(s)=-\sum_{p\in\mathbb{P}}\log(1-p^{-s})=\sum_{p\in\mathbb{P}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{p^{-ns}}{n}\]
上面的二重级数对 $\Re(s)>1$ 绝对收敛, 并且可以改写为 Stieltjes 积分
\begin{equation}\label{eq:4.1}
\log\zeta(s)=\int_{0}^{\infty}x^{-s}\,\mathrm{d}J(x) \quad (\Re(s)>1)
\end{equation}
其中 $J(x)$ 是一个特殊的阶梯函数. $J(0)=0$, 之后每越过一个素数就增加 $1$, 每越过一个素数的平方就增加 $1/2$, 每越过一个素数的 $n$ 次方就增加 $1/n$. 而在 $J(x)$ 不连续点 (即 $x=p,p^2,p^3,\cdots$ 的点), 其函数值用 $J(x)=\frac{1}{2}[J(x^-)+J(x^+)]$ 来定义.

$\ x\ $	$0\le x<2$	$2$	$2<x<3$	$3$	$3<x<4$	$4$	$4<x<5$	$5$	$5<x<7$
$\ J(x)\ $	$\quad 0\quad$	$\frac{1}{2}$	$\quad 1\quad$	$\frac{3}{2}$	$\quad 2\quad$	$\frac{9}{2}$	$\frac{5}{2}$	$3$	$\frac{7}{2}$

$J(x)$ 也可表示为
\[J(x)=\frac{1}{2}\bigg[\sum_{p^n<x}\frac{1}{n}+\sum_{p^n\leqslant x}\frac{1}{n}\bigg].\]

对于任意实数 $x>0$, 记 $\pi(x)$ 为不大于 $x$ 的素数 $p$ 的个数, 即

\begin{equation}\label{eq:4.2}\pi(x)=\sum_{p\leqslant x}1. \end{equation}

由 $J(x)$ 与 $\pi(x)$ 的定义, 我们易得

\begin{equation}\label{eq:4.3} J(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\pi(x^{1/n})}{n}.\end{equation}

由 Möbius 反演公式我们得

\begin{equation}\label{eq:4.4} \pi(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mu(n)}{n}J(x^{1/n}). \end{equation}

将 \eqref{eq:4.1} 进行一次分部积分, 得

\begin{equation}\label{eq:4.5} \log\zeta(s)=s\int_{0}^{\infty}J(x) x^{-s-1}\,\mathrm{d}x \end{equation}

接下来将 $J(x)$ 从上面积分中解出来, 得

\begin{equation}\label{eq:4.6} J(x)=\frac{1}{2\pi \mathrm{i}} \int_{a-\mathrm{i}\infty}^{a+\mathrm{i}\infty}\frac{\log \zeta(s)}{s}x^s\,\mathrm{d}s \end{equation}

其中 $a>1$. 这个积分是条件收敛的, 它的定义是从 $a-b\mathrm{i}$ 积分到 $a+b\mathrm{i}$ ($b$ 为正实数), 然后取极限 $b\to\infty$. 计算这个积分的方法现在成为 Mellin 变换. 

由上文我们看到, 素数分布于 Riemann zeta 函数之间存在着深刻关联, 其核心就是 $J(x)$ 的积分表达式. 为做进一步研究,

Riemann 引进了一个辅助函数 $\xi(s)$:

\begin{equation}\label{eq:4.7} \xi(s)=\Gamma\Big(\frac{s}{2}+1\Big)(s-1)\pi^{-s/2}\zeta(s). \end{equation}

易知 $\xi(s)$ 是整函数. 利用函数方程[上一篇文章 $(8)$ 或 $(9)$] 我们亦得

\begin{equation}\label{eq:4.8} \xi(s)=\xi(1-s). \end{equation}

由 $\xi(s)$ 的定义中不难看出, $\xi(s)$ 的零点必是 $\zeta(s)$ 的零点 (这是由于 $\Gamma$ 函数没有零点, 且 $\xi(1)=\xi(0)=-\zeta(0)=1/2$). 另一方面, $\zeta(s)$ 的平凡零点 $s=-2n$ 恰好是 $\Gamma(s/2+1)$ 的极点, 因而不是 $\xi(s)$ 的零点与 $\zeta(s)$ 的非平凡零点重合. 换句换说, $\xi(s)$ 将 $\zeta(s)$ 的非平凡零点从全体零点中分离出来了.

我们需要指出的是 $\zeta(s)$ 在 $\Re(s)>1$ 的区域内没有零点, 也即 $\xi(s)$ 在 $\Re(s)>1$ 的区域内也没有零点. 由于 $\xi(s)=\xi(1-s)$, 因此 $\xi(s)$ 在 $\Re(s)<0$ 的区域内也没有零点. 这表明 $\zeta(s)$ 的所有非平凡零点都位于 $0\leqslant\Re(s)\leqslant1$ 的区域内.

$\xi(s)$ 可以表达为连乘积关系式:

\begin{equation}\label{eq:4.9}\xi(s)=\xi(0)\prod_{\rho}\Big(1-\frac{s}{\rho}\Big).\end{equation}

再由 \eqref{eq:4.7} 式, 得

\[\log\zeta(s)=\log\xi(0)+\sum_{\rho}\log\Big(1-\frac{s}{\rho}\Big)-\log\Gamma\Big(\frac{s}{2}+1\Big)+\frac{s}{2}\log\pi-\log(s-1).\]

对 \eqref{eq:4.6} 式进行一次分部积分, 得

\begin{equation}\label{eq:4.10}J(x)=-\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\frac{1}{\log x}\int_{a-\mathrm{i}\infty}^{a+\mathrm{i}\infty}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\Big[\frac{\log\zeta(s)}{s}\Big]x^s\,\mathrm{d}s \quad (a>1)\end{equation}
将 $\log\zeta(s)$ 的分解式代入上式, 各单项便可分别积出, 其结果如下表.

$\quad\log\zeta(s)$ 分解式中的项$\quad$	$\quad\qquad$对应的积分结果$\quad\qquad$
$\qquad-\log(s-1)\qquad$	$\qquad\qquad Li(x)\qquad\qquad$
$\displaystyle\sum_{\rho}\log\Big(1-\frac{s}{\rho}\Big)$	$\displaystyle-\sum_{\Im(\rho)>0}[Li(x^{\rho})+Li(x^{1-\rho})]$
$\displaystyle-\log\Gamma\Big(\frac{s}{2}+1\Big)$	$\displaystyle\int_{x}^{\infty}\frac{\mathrm{d}t}{t(t^2-1)\log t}$
$\qquad \log\xi(0) \qquad$	$\qquad\qquad\log\xi(0)=-\log2\qquad\qquad$
$\qquad\dfrac{s}{2}\log\pi \qquad$	$\qquad\qquad\qquad 0\qquad\qquad\qquad$

即得

\begin{equation}\label{eq:4.11} J(x)=Li(x)-\sum_{\rho}Li(x^{\rho})+\int_{x}^{\infty}\frac{\mathrm{d}t}{t(t^2-1)\log t}-\log 2.\end{equation}

其中 $Li(x)$ 为对数积分, $\rho$ 取遍 $\zeta(s)$ 的满足 $0<\Re(\rho)<1$ 的所有零点 (它们等于 $\zeta(s)$ 的虚零点, 称其为非平凡零点或者本性零点, 对于 $\rho$ 的和是将 $\rho$ 与 $1-\rho$ 放在一起组编的).

结合 \eqref{eq:4.4} 式我们就得到了素数个数 $\pi(x)$ 的 Riemann 显示公式. 这也是 Riemann 论文的目标.

• Riemann 猜想与素数定理

 

$\xi(s)$ 的乘积式或者 $\log\zeta(s)$ 的展开式的收敛性与 $\xi(s)$ 的零点分布有着密切的关系. 为此 Riemann 研究了 $\xi(s)$ 的零点分布, 并由此提出了三个重要命题: 

命题一    在 $0<\Im(s)<T$ 的区域内, $\xi(s)$ 的零点数目约为 $(T/2\pi)\log(T/2\pi)-(T/2\pi)$. 

命题二    在 $0<\Im(s)<T$ 的区域内, $\xi(s)$ 的位于 $\Re(s)=1/2$ 的直线上的零点数目也约为 $(T/2\pi)\log(T/2\pi)-(T/2\pi)$. 

命题三    $\xi(s)$ 的所有零点都位于 $\Re(s)=1/2$ 的直线上. 

其中命题一于 1905 年, 由德国数学家 Hans von Mangoldt 所证明, 也称 Riemann-von Mangoldt 公式. 命题二与命题三均未解决. 命题三正是著名的 Riemann 猜想.

Riemann 猜想: $\zeta(s)$ 的非平凡零点的实部 $\Re(\rho)=\dfrac{1}{2}$.

Riemann 猜想等价于 (von Koch, 1901)

\begin{equation}\label{eq:5.1}\pi(x)=Li(x)+O(x^{\frac{1}{2}}\log x)\Leftrightarrow \pi(x)=Li(x)+O(x^{\frac{1}{2}+\varepsilon})\,(\varepsilon>0).\end{equation}

而通常的素数定理  (Hadamard, de la Vallée-Poussin, 1896)

\begin{equation}\label{eq:5.2}\pi(x)\sim\frac{x}{\log x}\quad (x\to\infty)\quad \text{或}\quad \pi(x)=(1+o(1))\frac{x}{\log x}.\end{equation}

说的是 $\Re(\rho)<1,$ 由此得到的是远比 Riemann 猜想弱的结果.