第五届中国大学生数学竞赛预赛试题(2013数学类)
第五届中国大学生数学竞赛预赛试题
数学类
2013 年 10 月 26 日
一、 (15 分) 平面 $\mathbb{R}^2$ 上两个半径为 $r$ 的圆 $C_1,C_2$ 外切于点 $P$. 将圆 $C_2$ 沿 $C_1$ 的圆周 (无滑动) 滚动一周, 这时 $C_2$ 上的 $P$ 点也随 $C_2$ 的运动而运动. 记 $\Gamma$ 为 $P$ 点的运动曲线, 称为心脏线. 设 $C$ 为以 $P$ 的初始位置 (切点) 为圆心的圆, 其半径为 $R$. 记 $\gamma : \mathbb{R}^2\cup\{\infty\}\to \mathbb{R}^{2}\cup\{\infty\}$ 为 $C$ 的反演变换, 它将 $Q\in\mathbb{R}^2\setminus\{P\}$ 映照成射线 $PQ$ 上的点 $Q'$, 满足 $\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{PQ'}=R^2$. 求证: $\gamma(\Gamma)$ 为抛物线.
二、(10 分) 设 $n$ 阶方阵 $B(t)$ 和 $n\times1$ 矩阵 $b(t)$ 分别为
\[B(t)=(b_{ij}(t)),\quad
b(t)=\left(\begin{array}{c} b_1(t) \\ \vdots \\ b_n(t) \\
\end{array} \right),\quad (i,j=1,2,\cdots,n) \]
其
中 $b_{ij}(t), b_i(t)$ 均为关于 $t$ 的实系数多项式. 记 $d(t)=\det(B(t))$, $d_i(t)$ 为用
$b(t)$ 代替 $B(t)$ 第 $i$ 列后所得到 $n$ 阶矩阵的行列式. 若 $d(t)$ 有实根 $t_0$ 使得
$B(t_0)X=b(t_0)$ 成为关于 $X$ 的相容线性方程组, 试证明: $d(t),d_1(t),\cdots,d_{n}(t)$
必有次数 $\geqslant1$ 的公因式.
三、(15 分) 设 $f(x)\in C^2[0,a]$, 满足 $f'(0)=1,f''(0)\neq0$, 且 $0<f(x)<x\,(x\in(0,a))$. 令 $x_{n+1}=f(x_n),x_1\in(0,a)$.
- 求证 $\{x_n\}$ 收敛并求其极限.
- 试问 $\{nx_n\}$ 是否收敛? 说明理由, 若收敛, 求出该值.
四、(15 分) 设 $a>1$, 函数 $f:(0,+\infty)\to(0,+\infty)$ 可微. 求证: 存在趋于无穷的正数列 $\{x_n\}$ 使得
\[f'(x_n)<f(ax_n),\,n=1,2,\cdots.\]
五、(20 分) 设 $f:[-1,1]\to \mathbb{R}$ 为偶函数, 且 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调递增. 又设 $g$ 为 $[-1,1]$ 上的凸函数, 即对任意 $x,y\in[-1,1]$ 及 $t\in(0,1)$ 有
\[g(tx+(1-t)y)\leqslant tg(x)+(1-t)g(y).\]
证明:
\[2\int_{-1}^{1}f(x)g(x)\,\mathrm{d}x\geqslant \int_{-1}^{1}f(x)\,\mathrm{d}x \int_{-1}^{1}g(x)\,\mathrm{d}x.\]
六、
(20 分) 设 $\mathbb{R}^{n\times n}$ 为 $n$ 阶实方阵全体, $E_{ij}$ 为 $(i,j)$ 位置元素为
$1$ 其余元素为 $0$ 的 $n$ 阶方阵, $i,j=1,2,\cdots,n$. 让 $\Gamma_{r}$ 为秩等于 $r$ 的实
$n$ 阶方阵全体, $r=0,1,2,\cdots,n$, 并让 $\phi:\mathbb{R}^{n\times n}\to
\mathbb{R}^{n\times n}$ 为可乘映照, 即满足: $\phi(AB)=\phi(A)\phi(B),\forall
A,B\in\mathbb{R}^{n\times n}$. 试证明:
- $\forall A,B\in\Gamma_{r}$, 秩 $\phi(A)=$ 秩 $\phi(B)$
- 若 $\phi(0)=0$, 且存在某个秩为 $1$ 的矩阵 $W$ 使得 $\phi(W)\neq0$, 则必存在可逆方阵 $R$ 使得 $\phi(E_{ij})=RE_{ij}R^{-1}$ 对一切 $E_{ij}$ 皆成立, $i,j=1,2,\cdots,n$.
