彭道意的数学博客

我和朋友们翻译了几本数学书： 数学反思2006-2007（Mathematical Reflections the first two years），蒂图·安德雷斯库（Titu Andreescu）著，姜国，彭道意，曾熊，马明辉，李永涛 译，哈尔滨工业大学出版社，2022年。 新的、更新的、最新的不 Read More

几个积性函数的均值 Euler 示性函数 $\varphi(n)=n\prod_{p\mid n} \left(1-\frac1{p} \right)$ 对应的 Dirichlet 级数为 \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\varphi(n)}{n^s} = \frac{\ Read More

本文推广了多重小数部分和的渐近式与 Ovidiu Furdui 积分问题一文中的结果。 最近，王永强先生推广 $2$ 重和式的结果，然后我将其推广到 $k$ 重和式。具体文章将继续投稿给大学数学杂志。 对于正整数 $k\geqslant 3$, 正整数 $a_1,\dotsc, a_k \in \m Read More

王永强先生证明了如下公式： \begin{equation*} \sum_{n \leqslant x} \sum_{m\leqslant x} \Big\{ \frac{x}{m+n} \Big\} = \left(2\log2-\frac{\zeta(2)}{2}\right)x^{2} +O Read More

一个极限问题 最近（11月），考虑了如下问题，好友马明辉给出了一个解答（见微信公众号：Xionger 的数学小屋），然而，我只写出了第一问，哈哈。 设 $x_{n}$ $(n\geqslant 2)$ 是如下方程 \begin{equation}\label{eq:1} x^{-n} = \sum_ Read More

正整数互素的概率问题 2018 年 10 月 14 最近，马明辉和我考虑了一些正整数互素的概率问题。 Euler 乘积公式, 对 $\Re(s)>1$ 有\begin{equation*} \zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = \prod_{p Read More

一类多重小数部分和的渐近式与Ovidiu Furdui积分问题 最近（6月），网友王永强先生发给好友曾熊一个渐近式，即如下 $k=2$ 的情形，熊哥转述给我后，觉得比较有意思，然后我和马明辉做了推广，考虑了如下 $k$ 重和式 \begin{equation}\label{eq:1} \sum_{n Read More

$\prod\limits_{\substack{(k,n)=1 \\ 1\leqslant k \leqslant n}} k$ 的阶 2018 年 6 月 8 日 网友王永强先生发给我的朋友熊哥（曾熊）如下结果，一个数论不等式： 熊哥希望我能给出证明，但是我并没有完全证明出来，不过基本上我能够给 Read More

Gauss 双伽马定理 \begin{equation}\label{1} \psi\left(\frac{p}{q}\right)=-\gamma-\frac{\pi}{2}\cot{\frac{\pi p}{q}}-\ln{q}+\sum_{n=1}^{q-1} \cos\frac{2\pi n Read More

中国科学院大学2016 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题数学分析1. 计算极限\begin{equation*} \lim_{x\to 0} \left(\frac{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{2x}+\dotsb+\mathrm{e}^{nx}}{n}\right... Read More

无平方因子数的分布(Ⅰ)Daoyi PengMay 23, 2015● 卷积方法余项估计定义 1 乘性函数 $n\mapsto \mu^2(n)$, 其部分和 $$\begin{equation*} Q(x):=\sum_{n\leqslant x}\mu^2(n)\end{equation*}$$ 等于不超过... Read More

正五邊形的尺規作圖 Daoyi Peng May 22, 2014 这个作图是我初中时得到的，念大学时，将其写出来交给我的《初等数学研究》课程老师。 Ptolemy 定理 圓內接四邊形的對角線長度之積等於兩組對邊長度乘積之和. Fig 1 為正五邊形 $ABCDE$, 考慮圓內接四邊形 $ABDE$ Read More

Riemann zeta 函数 (Ⅱ) June 12, 2012 Riemann 的论文思路 Riemann 的论文思路 下面按照 Riemann 论文的思路揭示 $\zeta(s)$ 与素数的关系. 将 Euler 乘积公式\[\zeta(s)=\prod_{p\in\mathbb{P}}\fr Read More

Riemann zeta 函数 (Ⅰ) December 12, 2012 Euler 乘积公式 Euler 乘积公式 Riemann 的基本思想是将 Euler 乘积公式推广到复变量的情形. 为此他对所有实部 $\sigma>1$ 的复数 $s$ (设 $s=\sigma+\mathrm{i}\t Read More

第五届中国大学生数学竞赛预赛试题数学类2013 年 10 月 26 日一、 (15 分) 平面 $\mathbb{R}^2$ 上两个半径为 $r$ 的圆 $C_1,C_2$ 外切于点 $P$. 将圆 $C_2$ 沿 $C_1$ 的圆周 (无滑动) 滚动一周, 这时 $C_2$ 上的 $P$ 点也随 ... Read More

作为刘浩老的初等数论课程助教，给大二学弟学妹简单地介绍了 Fermat 大定理，或者说是历史导引。 Read More

双纽线周率与算术几何平均 彭道意 2012年11月23日 双纽线 $(x^2+y^2)^2=a^2(x^2-y^2)$ 时常出现在我们教材的例题或课后习题中, 鉴于此, 这篇短文主要介绍双纽线周长的计算. 也是椭圆周长的计算一文的后续. 双纽线也称伯努利双纽线 (Lemniscate of Bern Read More